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Etudier la convexité d'une fonction ff à l'aide du tableau de variation de f′f' - Exercice 2

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Soit ff une fonction deux fois dérivables sur R\mathbb{R}. On note f′f' sa dérivée et on donne ci-dessous le tableau de variation de f′f' .
Question 1

Étudiez la convexité de ff .

Correction
    Soit ff une fonction dérivable sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f′f' est croissante [a;b]\left[a;b\right] alors ff est convexe sur [a;b]\left[a;b\right]
  • Si f′f' est décroissante [a;b]\left[a;b\right] alors ff est concave sur [a;b]\left[a;b\right]
    • D'après le tableau de variation de f′f', on en déduit :
  • f′f' est décroissante sur l'intervalle ]−∞;−2]\left]-\infty;-2\right] alors ff est concave sur ]−∞;−2]\left]-\infty;-2\right]
  • f′f' est croissante [−2;6]\left[-2;6\right] alors ff est convexe sur [−2;6]\left[-2;6\right]
  • f′f' est décroissante sur l'intervalle [6;+∞]\left[6;+\infty\right] alors ff est concave sur [6;+∞]\left[6;+\infty\right]
    • Ainsi :
    Question 2

    En déduire le signe de f′′(x)f''\left(x\right) .

    Correction
      Soit ff une fonction deux fois dérivable sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • Lorsque ff est convexe sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur [a,b]\left[a,b\right]
  • Lorsque ff est concave sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur [a,b]\left[a,b\right]
    • D'après la question précédente, nous pouvons affirmer que :
  • ff est concave sur ]−∞;−2]\left]-\infty;-2\right] alors f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur ]−∞;−2]\left]-\infty;-2\right]
  • ff est convexe sur [−2;6]\left[-2;6\right] alors f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur [−2;6]\left[-2;6\right]
  • ff est concave sur [6;+∞]\left[6;+\infty\right] alors f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur [6;+∞]\left[6;+\infty\right]
    • Ainsi :