Convexité

Etudier la convexité d'une fonction ff à l'aide du signe de la dérivée seconde de ff - Exercice 3

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On considère la fonction ff définie sur ];+[\left]-\infty;+\infty\right[ par f(x)=(42x)exf\left(x\right)=\left(4-2x\right)e^{x} .
Question 1

Étudiez la convexité de la fonction ff .

Correction
Soit f(x)=(42x)exf\left(x\right)=\left(4-2x\right)e^{x}
ff est dérivable sur R\mathbb{R}
    Deˊriveˊe du produit\text{\purple{Dérivée du produit}}
On considère deux fonctions uu et vv, dérivables sur un intervalle II alors
(uv)=uv+uv\left(uv\right)'=u'v+uv'
Premieˋrement :\text{\red{Premièrement :}} Calculons f(x)f'\left(x\right)
Ici on reconnaît la forme (uv+w)=uv+uv\left(uv+w\right)'=u'v+uv' avec u(x)=42xu\left(x\right)=4-2x et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x}
Ainsi : u(x)=2u'\left(x\right)=-2 et v(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
f(x)=2×ex+(3x)exf'\left(x\right)=-2\times e^{x} +\left(3-x\right)e^{x}
f(x)=(1+3x)exf'\left(x\right)=\left(-1+3-x\right)e^{x}
f(x)=(2x)exf'\left(x\right)=\left(2-x\right)e^{x}
Deuxieˋmement :\text{\red{Deuxièmement :}} Calculons f(x)f''\left(x\right)
Ici on reconnaît la forme (uv+w)=uv+uv\left(uv+w\right)'=u'v+uv' avec u(x)=2xu\left(x\right)=2-x et v(x)=exv\left(x\right)=e^{x}
Ainsi : u(x)=1u'\left(x\right)=-1 et v(x)=exv'\left(x\right)=e^{x} .
Il vient alors que :
f(x)=1×ex+(2x)exf''\left(x\right)=-1\times e^{x} +\left(2-x\right)e^{x}
f(x)=(1+2x)exf''\left(x\right)=\left(-1+2-x\right)e^{x}
Ainsi :
f(x)=(1x)exf''\left(x\right)=\left(1-x\right)e^{x}

Pour tout réel xx, on a ex>0e^{x} >0.
Le signe de ff'' dépend alors de 1x1-x, ce qui donne :
1x01-x\ge 0
x1-x\ge -1
1x1-1x\ge -1
x11x\le \frac{-1}{-1}
x1x\le 1
Il en résulte donc que :
  • si x];1]x\in\left]-\infty;1\right] alors f(x)0f''\left(x\right)\ge0 et donc ff est convexe\red{\text{convexe}} sur cet intervalle.
  • si x[1;+[x\in\left[1;+\infty\right[ alors f(x)0f''\left(x\right)\le0 et donc ff est concave\red{\text{concave}} sur cet intervalle.
Ainsi :