Etudier la convexité d'une fonction $$f$$ à l'aide du signe de la dérivée seconde de $$f$$ - Exercice 3

Soit $$f\left(x\right)=\left(4-2x\right)e^{x}$$
$$f$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$
$$\text{\red{Premièrement :}}$$ Calculons $$f'\left(x\right)$$
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=4-2x$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-2$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-2\times e^{x} +\left(3-x\right)e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=\left(-1+3-x\right)e^{x}$$
$$f'\left(x\right)=\left(2-x\right)e^{x}$$
$$\text{\red{Deuxièmement :}}$$ Calculons $$f''\left(x\right)$$
Ici on reconnaît la forme $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=2-x$$ et $$v\left(x\right)=e^{x}$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=e^{x}$$.
Il vient alors que :
$$f''\left(x\right)=-1\times e^{x} +\left(2-x\right)e^{x}$$
$$f''\left(x\right)=\left(-1+2-x\right)e^{x}$$
Ainsi :
Pour tout réel $$x$$, on a $$e^{x} >0$$.
Le signe de $$f''$$ dépend alors de $$1-x$$, ce qui donne :
$$1-x\ge 0$$
$$-x\ge -1$$
$$-1x\ge -1$$
$$x\le \frac{-1}{-1}$$
$$x\le 1$$
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;1\right]$$ alors $$f''\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{convexe}}$$ sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[1;+\infty\right[$$ alors $$f''\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{concave}}$$ sur cet intervalle.

Ainsi :