Pour étudier la convexité de la fonction
f, il faut étudier le signe de
f′′. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de
f.
f est deux fois dérivable sur
]−∞;+∞[ .
Il vient que :
f′(x)=4x3+24x et
f′′(x)=12x2+24- Lorsque f′′(x)≥0 sur un intervalle [a,b] alors f est convexe.
- Lorsque f′′(x)≤0 sur un intervalle [a,b] alors f est concave.
Pour tout réel
x, nous savons que
x2≥0 . On en déduit donc que
12x2+24>0Il en résulte donc que :
- si x∈]−∞;+∞[ alors f′′(x)>0 et donc f est convexe sur cet intervalle.
Ainsi :