Convexité

Etudier la convexité d'une fonction ff à l'aide du signe de la dérivée seconde de ff - Exercice 2

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On considère la fonction ff définie sur ];+[\left]-\infty;+\infty\right[ par f(x)=x4+12x2x+2f\left(x\right)=x^{4} +12x^{2}-x+2 .
Question 1

Étudiez la convexité de la fonction ff .

Correction
Pour étudier la convexité de la fonction ff, il faut étudier le signe de ff''. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de ff.
ff est deux fois dérivable sur ];+[\left]-\infty;+\infty\right[ .
Il vient que :
f(x)=4x3+24xf'\left(x\right)=4x^{3} +24x et f(x)=12x2+24f''\left(x\right)=12x^{2}+24
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
Pour tout réel xx, nous savons que x20x^{2}\ge 0 . On en déduit donc que 12x2+24>012x^{2}+24>0
Il en résulte donc que :
  • si x];+[x\in\left]-\infty;+\infty\right[ alors f(x)>0f''\left(x\right)>0 et donc ff est convexe\red{\text{convexe}} sur cet intervalle.
Ainsi :
Question 2

La courbe représentative de ff possède-t-elle un point d'inflexion ?
Si oui, déterminer ses coordonnées.

Correction
  • ff possède un point d'inflexion lorsque sa dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point.
On a vu à la question 22 que la fonction dérivée seconde de ff est strictement positive.
Pour tout réel xx, on a donc : f(x)>0f''\left(x\right)>0. Cela signifie donc que ff'' ne s'annule pas .
Il en résulte que la fonction ff n'admet pas de point d'inflexion.