Etudier la convexité d'une fonction $$f$$ à l'aide du signe de la dérivée seconde de $$f$$ - Exercice 1

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de $$f$$.
$$f$$ est deux fois dérivable sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$ .
Il vient que :
$$f'\left(x\right)=-3x^{2} +12x$$ et $$f''\left(x\right)=-6x+12$$
$$f''$$ est une fonction affine.
Pour étudier son signe on résout l'inéquation $$-6x+12\ge 0$$, il vient alors :
$$-6x+12\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-6x\ge -12$$
$$x\le \frac{-12}{-6}$$ (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
$$x\le 2$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-6x+12$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$2$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;2\right]$$ alors $$f''\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{convexe}}$$ sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[2;+\infty\right[$$ alors $$f''\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{concave}}$$ sur cet intervalle.

Ainsi :

Résolvons :
$$f''\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$-6x+12=0$$
$$-6x=-12$$
$$x=\frac{-12}{-6}$$
$$x=2$$
$$f$$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $$2$$. En effet, d'après la question précédente, la dérivée seconde change bien de signe en $$2$$.
Pour déterminer ses coordonnées, calculons $$f\left(2\right)$$.
$$f\left(2\right)=-2^{3} +6\times2^{2}-9$$
$$f\left(2\right)=7$$
Les coordonnées du point d'inflexion de $$f$$ sont $$\left(2;7\right)$$.