Pour étudier la convexité de la fonction
f, il faut étudier le signe de
f′′. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de
f.
f est deux fois dérivable sur
]−∞;+∞[ .
Il vient que :
f′(x)=−3x2+12x et
f′′(x)=−6x+12- Lorsque f′′(x)≥0 sur un intervalle [a,b] alors f est convexe.
- Lorsque f′′(x)≤0 sur un intervalle [a,b] alors f est concave.
f′′ est une fonction affine.
Pour étudier son signe on résout l'inéquation
−6x+12≥0, il vient alors :
−6x+12≥0 équivaut successivement à :
−6x≥−12x≤−6−12 (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
x≤2Cela signifie que l'on va mettre le signe
+ dans la ligne de
−6x+12 lorsque
x sera inférieur ou égale à
2.
Il en résulte donc que :
- si x∈]−∞;2] alors f′′(x)≥0 et donc f est convexe sur cet intervalle.
- si x∈[2;+∞[ alors f′′(x)≤0 et donc f est concave sur cet intervalle.
Ainsi :