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Etudier la convexité d'une fonction ff à l'aide du signe de la dérivée seconde de ff - Exercice 1

8 min
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On considère la fonction ff définie sur ];+[\left]-\infty;+\infty\right[ par f(x)=x3+6x29f\left(x\right)=-x^{3} +6x^{2}-9 .
Question 1

Étudiez la convexité de la fonction ff .

Correction
Pour étudier la convexité de la fonction ff, il faut étudier le signe de ff''. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de ff.
ff est deux fois dérivable sur ];+[\left]-\infty;+\infty\right[ .
Il vient que :
f(x)=3x2+12xf'\left(x\right)=-3x^{2} +12x et f(x)=6x+12f''\left(x\right)=-6x+12
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\ge 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est convexe.
  • Lorsque f(x)0f''\left(x\right)\le 0 sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors ff est concave.
ff'' est une fonction affine.
Pour étudier son signe on résout l'inéquation 6x+120-6x+12\ge 0, il vient alors :
6x+120-6x+12\ge 0 équivaut successivement à :
6x12-6x\ge -12
x126x\le \frac{-12}{-6} (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
x2x\le 2
Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 6x+12-6x+12 lorsque xx sera inférieur ou égale à 22.
Il en résulte donc que :
  • si x];2]x\in\left]-\infty;2\right] alors f(x)0f''\left(x\right)\ge0 et donc ff est convexe\red{\text{convexe}} sur cet intervalle.
  • si x[2;+[x\in\left[2;+\infty\right[ alors f(x)0f''\left(x\right)\le0 et donc ff est concave\red{\text{concave}} sur cet intervalle.
Ainsi :
Question 2

La courbe représentative de ff possède-t-elle un point d'inflexion ?
Si oui, déterminer ses coordonnées.

Correction
  • ff possède un point d'inflexion lorsque sa dérivée seconde s'annule et change de signe en ce point.
Résolvons :
f(x)=0f''\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
6x+12=0-6x+12=0
6x=12-6x=-12
x=126x=\frac{-12}{-6}
x=2x=2
ff admet un point d'inflexion au point d'abscisse 22. En effet, d'après la question précédente, la dérivée seconde change bien de signe en 22.
Pour déterminer ses coordonnées, calculons f(2)f\left(2\right).
f(2)=23+6×229f\left(2\right)=-2^{3} +6\times2^{2}-9
f(2)=7f\left(2\right)=7
Les coordonnées du point d'inflexion de ff sont (2;7)\left(2;7\right).