Convexité

Etudier graphiquement la convexité d'une fonction - Exercice 1

2 min
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On donne ci-dessous la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} d'une fonction ff deux fois dérivable sur l'intervalle [−1;9]\left[-1;9\right] .
Question 1

Conjecturer la convexité de ff .

Correction
    Les deux définitions ci-dessous sont équivalentes :
  • ff est une fonction convexe\red{\text{convexe}} sur un intervalle II si sa courbe représentative Cf\mathscr{C_f} est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes .\red{\text{au-dessus de chacune de ses tangentes .}}
  • ff est une fonction convexe\red{\text{convexe}} sur un intervalle II si chacune de ses tangentes sont en dessous\red{\text{en dessous}} de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} .
    • Nous avons tracé ci-dessous 33 tangentes à la courbe Cf\mathscr{C_f}.
    Les tangentes semblent donc être toutes en dessous\red{\text{en dessous}} de la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} .
    On peut donc conjecturer que la fonction ff semble convexe sur l'intervalle [−1;9]\left[-1;9\right] .
    Question 2

    En supposant cette conjecture exacte, indiquer le sens de variation de la fonction dérivée f′f' .

    Correction
      Soit ff une fonction deux dérivable sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors :
    • Si ff est convexe sur [a;b]\left[a;b\right] alors f′f' est croissante sur [a;b]\left[a;b\right]
    • Si ff est concave sur [a;b]\left[a;b\right] alors f′f' est décroissante sur [a;b]\left[a;b\right]
    D'après la question 11, nous avons conjecturé que fonction ff semble convexe sur l'intervalle [−1;9]\left[-1;9\right] il en résulte donc que f′f' est croissante sur [−1;9]\left[-1;9\right].
    Question 3

    En supposant la conjecture exacte (question 11), indiquer le signe de fonction dérivée seconde f′′f'' .

    Correction
      Soit ff une fonction deux dérivable sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right] alors :
    • Si ff est convexe sur [a;b]\left[a;b\right] alors f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur [a;b]\left[a;b\right]
    • Si ff est concave sur [a;b]\left[a;b\right] alors f′′(x)≤0f''\left(x\right)\le 0 sur [a;b]\left[a;b\right]
    D'après la question 11, nous avons conjecturé que fonction ff semble convexe sur l'intervalle [−1;9]\left[-1;9\right] il en résulte donc que f′′(x)≥0f''\left(x\right)\ge 0 sur [−1;9]\left[-1;9\right].