Déterminer algébriquement les coordonnées des points d'inflexion d'une fonction $$f$$ - Exercice 1

Pour étudier la convexité de la fonction $$f$$, il faut étudier le signe de $$f''$$. Il va donc falloir calculer la dérivée seconde de $$f$$.
$$f$$ est deux fois dérivable sur $$\left]-\infty;+\infty\right[$$ .
Il vient que :
$$f'\left(x\right)=-6x^{2} +4x$$ et $$f''\left(x\right)=-12x+4$$
$$f''$$ est une fonction affine.
Pour étudier son signe on résout l'inéquation $$-12x+4\ge 0$$, il vient alors :
$$-12x+4\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-12x\ge -4$$
$$x\le \frac{-4}{-12}$$ (on change le sens de l'inéquation car on divise par un nombre négatif)
$$x\le \frac{1}{3}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$-12x+4$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$\frac{1}{3}$$.
Il en résulte donc que :

• si $$x\in\left]-\infty;\frac{1}{3}\right]$$ alors $$f''\left(x\right)\ge0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{convexe}}$$ sur cet intervalle.
• si $$x\in\left[\frac{1}{3};+\infty\right[$$ alors $$f''\left(x\right)\le0$$ et donc $$f$$ est $$\red{\text{concave}}$$ sur cet intervalle.

Ainsi :Résolvons :
$$f''\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$-12x+4=0$$
$$-12x=-4$$
$$x=\frac{-4}{-12}$$
$$x=\frac{1}{3}$$
$$f$$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $$x=\frac{1}{3}$$. En effet, d'après la question précédente, la dérivée seconde change bien de signe en $$x=\frac{1}{3}$$.
Pour déterminer ses coordonnées, calculons $$f\left(\frac{1}{3}\right)$$.
$$f\left(\frac{1}{3}\right)=-2\times\left(\frac{1}{3}\right)^{3} +2\times\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+1$$
$$f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{31}{27}$$
Les coordonnées du point d'inflexion de $$f$$ sont $$\left(\frac{1}{3};\frac{31}{27}\right)$$.