Probabilités conditionnelles - Exercice 4

15 min

Soient

A

B

, tels que

P\left(A\right)=0,2

P\left(B\right)=0,5

P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{7}

Question 1

Calculez $P_{B} \left(A\right)$ puis $P_{A} \left(B\right)$

Correction

Soit :

P_{B} \left(A\right)=\frac{\left(\frac{1}{7} \right)}{0,5}

D'où :

P_{B} \left(A\right)=\frac{2}{7}

D'après le cours on sait que :

P_{A} \left(B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}

.
Soit :

P_{A} \left(B\right)=\frac{\left(\frac{1}{7} \right)}{0,2}

D'où :

P_{A} \left(B\right)=\frac{5}{7}

Question 2

Correction

D'après le cours on sait que : $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

Il vient alors que :

P\left(A\cup B\right)=0,2+0,5-\frac{1}{7}

Ainsi :

P\left(A\cup B\right)=\frac{39}{70}

Question 3

Correction

Si $P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right)$ alors les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.

Or :

P\left(A\right)\times P\left(B\right)=0,2\times 0,5=\frac{1}{10}

Donc :

P\left(A\cap B\right)\ne P\left(A\right)\times P\left(B\right)

.
Les évènements

A

B

ne sont pas indépendants.