Loi binomiale - Exercice 3

On remplit l'arbre pondéré par les données de l'exercice :

$$V_{1} ,R_{1}$$ et $$B_{1}$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
Calculons : $$P\left(H\right)=P\left(B_{1} \cap B_{2} \right)$$
$$P\left(H\right)=P\left(B_{1} \right)\times P_{B_{1} } \left(B_{2} \right)$$
$$P\left(H\right)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}$$ d'où :
On a une chance sur $$8$$ de tirer deux boules bleues.

Pour avoir une boule rouge, il y a deux possibilités :
Soit en $$1$$^er on tire une rouge puis ensuite une bleue
Soit en $$1$$^er on tire une bleue puis ensuite une rouge.
Ainsi :
$$P\left(J\right)=P\left(R_{1} \cap B_{2} \right)+P\left(B_{1} \cap R_{2} \right)$$ équivaut successivement à :
$$P\left(J\right)=P\left(R_{1} \right)\times P_{R_{1} } \left(B_{2} \right)+P\left(B_{1} \right)\times P_{B_{1} } \left(R_{2} \right)$$
$$P\left(J\right)=\frac{1}{8} \times \frac{3}{4} +\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}$$
$$P\left(J\right)=\frac{7}{32}$$.
On a une chance sur $$8$$ de tirer une boule rouge.
Si les deux boules sont rouges, le joueur gagne $$9$$€, si une boule est rouge, il gagne $$3$$€, sinon il ne gagne rien.
Le joueur mise $$1$$€.
Soit $$X$$ la variable aléatoire représentant le gain du joueur.

Notons $$T$$ l'évènement deux boules sont rouges et $$J$$ l'évènement une boule est rouge.
Nous avons déjà calculé $$P\left(J\right)$$ à la question 3.
Calculons :
$$P\left(T\right)=P\left(R_{1} \cap R_{2} \right)$$ équivaut successivement à :
$$P\left(T\right)=P\left(R_{1} \right)\times P_{R_{1} } \left(R_{2} \right)$$
$$P\left(T\right)=\frac{1}{8} \times \frac{1}{4}$$
$$P\left(T\right)=\frac{1}{32}$$
Le gain du joueur est la somme reçue moins sa mise.
Ainsi, $$X$$ prendra les valeurs $$X=\left\{8;2;-1\right\}$$.
On va traduire ces informations dans un tableau que l'on appellera loi de probabilité :

Pour obtenir $$P\left(X=-1\right)$$ , on sait que : $$P\left(X=-1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=8\right)=1$$
Soit : $$P\left(X=-1\right)=1-P\left(X=2\right)-P\left(X=8\right)$$
Ainsi : $$P\left(X=-1\right)=\frac{3}{4}$$

Il en résulte que : $$E\left(X\right)=8\times \frac{1}{32} +2\times \frac{7}{32} +\left(-1\right)\times \frac{3}{4}$$
Soit : $$E\left(X\right)=-\frac{1}{16}$$ c'est-à-dire : $$E\left(X\right)=-0,0625$$
En moyenne le joueur perdra $$0,0625$$€ par partie en jouant un très grand nombre de fois.