Probabilités conditionnelles et loi binomiale

Loi binomiale - Exercice 3

25 min
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Dans une fête foraine, un organisateur de jeux dispose de 22 urnes comportant chacune 88 boules.
L'urne AA comporte 33 boules vertes, 11 boule rouge et 44 boules bleues.
L'urne BB comporte 66 boules bleues et 22 boules rouges.
Le déroulement du jeu est le suivant :
Le joueur tire une boule de l'urne AA :
  • S'il tombe sur une boule verte le jeu s'arrête.
  • S'il tombe sur une boule rouge ou bleue, il tire une boule de l'urne BB.
On note :
  • V1 l'événement : "la boule est verte lors du premier tirage dans l'urne".
  • R1 l'événement : "la boule est rouge lors du premier tirage dans l'urne".
  • B1 l'événement : "la boule est bleue lors du premier tirage dans l'urne".
  • R2 l'événement : "la boule est rouge lors du deuxième tirage dans l'urne".
  • B2 l'événement : "la boule est bleue lors du deuxième tirage dans l'urne".
Question 1

Construire un arbre pondéré résumant la situation.

Correction
On remplit l'arbre pondéré par les données de l'exercice :
Question 2

Calculer la probabilité de l'évènement H « tirer deux boules bleues ».

Correction
V1,R1V_{1} ,R_{1} et B1B_{1} forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
Calculons : P(H)=P(B1∩B2)P\left(H\right)=P\left(B_{1} \cap B_{2} \right)
P(H)=P(B1)×PB1(B2)P\left(H\right)=P\left(B_{1} \right)\times P_{B_{1} } \left(B_{2} \right)
P(H)=12×14P\left(H\right)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} d'où :
P(H)=18P\left(H\right)=\frac{1}{8}

On a une chance sur 88 de tirer deux boules bleues.
Question 3

Calculer la probabilité de l'évènement J « tirer une boule rouge »

Correction
Pour avoir une boule rouge, il y a deux possibilités :
Soit en 11er on tire une rouge puis ensuite une bleue
Soit en 11er on tire une bleue puis ensuite une rouge.
Ainsi :
P(J)=P(R1∩B2)+P(B1∩R2)P\left(J\right)=P\left(R_{1} \cap B_{2} \right)+P\left(B_{1} \cap R_{2} \right) équivaut successivement à :
P(J)=P(R1)×PR1(B2)+P(B1)×PB1(R2)P\left(J\right)=P\left(R_{1} \right)\times P_{R_{1} } \left(B_{2} \right)+P\left(B_{1} \right)\times P_{B_{1} } \left(R_{2} \right)
P(J)=18×34+12×14P\left(J\right)=\frac{1}{8} \times \frac{3}{4} +\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}
P(J)=732P\left(J\right)=\frac{7}{32} .
On a une chance sur 88 de tirer une boule rouge.
Si les deux boules sont rouges, le joueur gagne 99€, si une boule est rouge, il gagne 33€, sinon il ne gagne rien.
Le joueur mise 11€.
Soit XX la variable aléatoire représentant le gain du joueur.
Question 4

Déterminer la loi de probabilité de XX

Correction
Notons TT l'évènement deux boules sont rouges et JJ l'évènement une boule est rouge.
Nous avons déjà calculé P(J)P\left(J\right) à la question 3.
Calculons :
P(T)=P(R1∩R2)P\left(T\right)=P\left(R_{1} \cap R_{2} \right) équivaut successivement à :
P(T)=P(R1)×PR1(R2)P\left(T\right)=P\left(R_{1} \right)\times P_{R_{1} } \left(R_{2} \right)
P(T)=18×14P\left(T\right)=\frac{1}{8} \times \frac{1}{4}
P(T)=132P\left(T\right)=\frac{1}{32}
Le gain du joueur est la somme reçue moins sa mise.
Ainsi, XX prendra les valeurs X={8;2;−1}X=\left\{8;2;-1\right\}.
On va traduire ces informations dans un tableau que l'on appellera loi de probabilité :

Pour obtenir P(X=−1)P\left(X=-1\right) , on sait que : P(X=−1)+P(X=2)+P(X=8)=1P\left(X=-1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=8\right)=1
Soit : P(X=−1)=1−P(X=2)−P(X=8)P\left(X=-1\right)=1-P\left(X=2\right)-P\left(X=8\right)
Ainsi : P(X=−1)=34P\left(X=-1\right)=\frac{3}{4}
Question 5

Calculer l'espérance mathématiques de XX et en donner une interprétation.

Correction
On appelle l'espérance mathématique de la variable XX, la valeur E(X)E\left(X\right) définie par :
E(X)=∑i=1npixiE\left(X\right)=\sum _{i=1}^{n}p_{i} x_{i}

Autrement dit : E(X)=p1x1+p2x2+p3x3+…+pnxnE\left(X\right)=p_{1} x_{1} +p_{2} x_{2} +p_{3} x_{3} +\ldots +p_{n} x_{n}
Il en résulte que : E(X)=8×132+2×732+(−1)×34E\left(X\right)=8\times \frac{1}{32} +2\times \frac{7}{32} +\left(-1\right)\times \frac{3}{4}
Soit : E(X)=−116E\left(X\right)=-\frac{1}{16} c'est-à-dire : E(X)=−0,0625E\left(X\right)=-0,0625
En moyenne le joueur perdra 0,06250,0625€ par partie en jouant un très grand nombre de fois.