Loi binomiale - Exercice 2

15 min
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Dans un examen sous forme de QCM, il y a deux réponses possibles Vrai -- Faux
Question 1

Quelle est la probabilité d'avoir 44 bonnes réponses sur 1111 ?

Correction
A chaque question du QCM la probabilité d'avoir une bonne réponse est de 12\frac{1}{2} .
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « donner la bonne réponse » avec la probabilité p=12p=\frac{1}{2}.
On appelle échec « donner la mauvaise réponse » avec la probabilité 1−p=121-p=\frac{1}{2}.
On répète onze fois de suite cette expérience de façon indépendante.
XX est la variable aléatoire qui associe le nombre de bonnes réponses.
XX suit la loi binomiale de paramètre n=11n=11 et p=12p=\frac{1}{2}
On note alors X∼B(11;12)X \sim B\left(11;\frac{1}{2} \right)

On doit calculer : P(X=4)P\left(X=4\right).
On donnera maintenant les résultats sans détailler (cf. exercice au-dessus pour voir la rédaction et aussi les fiches spécifiques comment utiliser la calculatrice Casio ou Texas avec une loi binomiale).
Soit
P(X=4)=0,161P\left(X=4\right)=0,161
arrondi à 10−310^{-3} près.
Question 2

Dans une classe composée de 3030 élèves, quelle est la probabilité qu'il y ait au moins 2525 élèves à avoir le bac ?

Correction
Pour chaque élève la probabilité d'avoir le bac est de 0,880,88.
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « Obtenir le bac » avec la probabilité p=0,88p=0,88.
On appelle échec « Ne pas obtenir le bac » avec la probabilité 1−p=0,121-p=0,12.
On répète trente fois de suite cette expérience de façon indépendante.
XX est la variable aléatoire qui associe le nombre d'élèves à avoir le bac.
XX suit la loi binomiale de paramètre n=30n=30 et p=0,88p=0,88.
On note alors X∼B(30;0,88)X \sim B\left(30;0,88\right)

On doit calculer : P(X≥25)P\left(X\ge 25\right).
On rappelle que : P(X≥25)=1−P(X≤24)P\left(X\ge 25\right)=1-P\left(X\le 24\right)
On donnera maintenant les résultats sans détailler (cf. exercice au-dessus pour voir la rédaction et aussi les fiches spécifiques comment utiliser la calculatrice Casio ou Texas avec une loi binomiale)
P(X≥25)≈0,857P\left(X\ge 25\right)\approx 0,857
arrondi à 10−310^{-3} près.

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