Comment calculer l'espérance d'une loi binomiale - Exercice 1

10 min
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Question 1

Soit XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(10;0,3)B\left(10; 0,3\right). Déterminer l'espérance de la loi XX.

Correction
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
  • V(X)=n×p×(1−p)V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
  • σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
    • Nous savons que XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(10;0,3)B\left(10; 0,3\right).
    Ainsi :
    E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p équivaut successivement à :
    E(X)=10×0,3E\left(X\right)=10\times 0,3
    E(X)=3E\left(X\right)=3
    Question 2

    Soit XX suit une loi binomiale de paramètre n=80n = 80 et p=0,35p = 0,35 . Déterminer l'espérance de la loi XX.

    Correction
    XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
  • V(X)=n×p×(1−p)V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
  • σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
    • Nous savons que XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(80;0,35)B\left(80; 0,35\right).
    Ainsi :
    E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p équivaut successivement à :
    E(X)=80×0,35E\left(X\right)=80\times 0,35
    E(X)=28E\left(X\right)=28
    Question 3

    Soit XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(12;12)B\left(12; \frac{1}{2}\right). Déterminer l'espérance de la loi XX.

    Correction
    XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
  • V(X)=n×p×(1−p)V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
  • σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
    • Nous savons que XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(12;12)B\left(12; \frac{1}{2}\right).
    Ainsi :
    E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p équivaut successivement à :
    E(X)=12×12E\left(X\right)=12\times \frac{1}{2}
    E(X)=6E\left(X\right)=6
    Question 4

    Soit XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale dont l'espérance vaut 1212 et p=0,6p=0,6 . Déterminer alors la valeur de nn .

    Correction
    XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
  • V(X)=n×p×(1−p)V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
  • σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
    • Nous savons que XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n;0,6)B\left(n; 0,6\right).
    Ainsi :
    E(x)=n×pE\left(x\right)=n\times p
    12=n×0,612=n\times 0,6
    n×0,6=12n\times 0,6=12
    n=120,6n=\frac{12}{0,6}
    n=20n=20

    La loi binomiale de paramètre n=20n=20 et p=0,6p=0,6 admet donc une espérance égale à 1212.

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