Valeur moyenne - Exercice 3

Lorsque vous rencontrez cette question, il faut comprendre que l'on vous demande de calculer une intégrale.
Dans notre exercice, nous devons calculer $$I=\int _{1}^{4}\left(f\left(x\right)\right) dx$$
Soit $$f\left(x\right)=2+x+\frac{3}{x}$$~alors $$F\left(x\right)=2x+\frac{1}{2} x^{2} +3\ln \left(x\right)$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(4\right)-F\left(1\right)$$ équivaut successivement à :
$$I=2\times 4+\frac{1}{2} \times 4^{2} +3\ln \left(4\right)-\left(2\times 1+\frac{1}{2} \times 1^{2} +3\ln \left(1\right)\right)$$
$$I=16+3\ln \left(4\right)-\frac{5}{2}$$
$$I=3\ln \left(4\right)+\frac{27}{2}$$
Ainsi l'aire du domaine délimité par la courbe $$C_{f}$$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $$x=1$$ et $$x=4$$ est de $$3\ln \left(4\right)+\frac{27}{2}$$ unités d'aires.

D'après la question $$1$$, on sait que : $$\int _{1}^{4}\left(f\left(x\right)\right) dx=3\ln \left(4\right)+\frac{27}{2}$$
On applique la formule de la valeur moyenne :$$m=\frac{1}{4-1} \int _{1}^{4}\left(f\left(x\right)\right) dx$$ équivaut successivement à :
$$m=\frac{1}{3} \times \left(3\ln \left(4\right)+\frac{27}{2} \right)$$ .
On distribue dans la parenthèse par $$\frac{1}{3}$$