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Primitives et calcul intégral

Valeur moyenne - Exercice 2

6 min
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On considère la fonction ff continue sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ définie par f(x)=2e−3x+1f\left(x\right)=2e^{-3x+1}
Question 1

Calculer la valeur moyenne de ff sur l'intervalle [0;2]\left[0;2\right]

Correction
On commence donc à déterminer une primitive de ff.
Ainsi :
F(x)=2×1−3e−3x+1F\left(x\right)=2\times \frac{1}{-3} e^{-3x+1} .
Comme on veut une primitive on n'a pas besoin de mettre le k∈Rk\in \mathbb{R}
F(x)=−23e−3x+1F\left(x\right)=-\frac{2}{3} e^{-3x+1}
Ensuite, on applique la formule de la valeur moyenne :
ff une fonction continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right].
La valeur moyenne de la fonction ff sur [a;b]\left[a;b\right] est le réel mm défini par m=1b−a∫abf(x)dxm=\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b}f\left(x\right) dx
m=12−0∫02(2e−3x+1)dxm=\frac{1}{2-0} \int _{0}^{2}\left(2e^{-3x+1} \right) dx équivaut successivement à :
m=12(F(2)−F(0))m=\frac{1}{2} \left(F\left(2\right)-F\left(0\right)\right)
m=12((−23e−5)−(−23e1))m=\frac{1}{2} \left(\left(-\frac{2}{3} e^{-5} \right)-\left(-\frac{2}{3} e^{1} \right)\right)
m=−13e−5+13e1m=-\frac{1}{3} e^{-5} +\frac{1}{3} e^{1}
Finalement :
m=13(e1−e−5)m=\frac{1}{3} \left(e^{1} -e^{-5} \right)