Primitives et calcul intégral

Calculs de primitives - Exercice 2

20 min
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On suppose que chacune des fonctions est continue sur un intervalle II (que l'on ne cherchera pas à déterminer).
Pour chaque question, déterminer la primitive de la fonction vérifiant la condition proposée :
Question 1

f(x)=2x+4f\left(x\right)=2x+4 ; F(1)=3F\left(1\right)=3

Correction
F(x)=x2+4x+kF\left(x\right)=x^{2} +4x+k
Or F(1)=3F\left(1\right)=3, on va donc remplacer tous les xx de la primitive par 1 afin de déterminer la valeur de kk.
Donc :
F(1)=3F\left(1\right)=3 équivaut successivement à :
12+4×1+k=31^{2} +4\times 1+k=3
k=−2k=-2

Ainsi : F(x)=x2+4x−2F\left(x\right)=x^{2} +4x-2
Question 2

f(x)=x2−x+1f\left(x\right)=x^{2} -x+1 ; F(−2)=1F\left(-2\right)=1

Correction
F(x)=13x3−12x2+x+k.F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} +x+k .
Or,
F(−2)=1F\left(-2\right)=1 équivaut successivement à :
13(−2)3−12(−2)2−2+k=1\frac{1}{3} \left(-2\right)^{3} -\frac{1}{2} \left(-2\right)^{2} -2+k=1
k=233k=\frac{23}{3}

Ainsi : F(x)=13x3−12x2+x+233F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x^{2} +x+\frac{23}{3}
Question 3

f(x)=x2−5x−2f\left(x\right)=x^{2} -5x-2 ; F(12)=0F\left(\frac{1}{2}\right)=0

Correction
F(x)=13x3−52x2−2x+kF\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{5}{2} x^{2} -2x+k
Or F(12)=0F\left(\frac{1}{2}\right)=0 équivaut successivement à
13×(12)3−52×(12)2−2×12+k=0\frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} -\frac{5}{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2} -2\times \frac{1}{2}+k=0
−1912+k=0-\frac{19}{12}+k=0
k=1912k=\frac{19}{12}

Ainsi : F(x)=13x3−52x2−2x+192F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{5}{2} x^{2} -2x+\frac{19}{2} .
Question 4

f(x)=2x−1x2+3f\left(x\right)=\frac{2}{x} -\frac{1}{x^{2} } +3 ; F(1)=−2F\left(1\right)=-2

Correction
F(x)=2ln⁡(x)+1x+3x+k.F\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{1}{x} +3x+k.
Or,
F(1)=−2F\left(1\right)=-2 équivaut successivement à :
2ln⁡(1)+1+3+k=−22\ln \left(1\right)+1+3+k=-2
k=−6k=-6

Finalement : F(x)=2ln⁡(x)+1x+3x−6F\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+\frac{1}{x} +3x-6
Question 5

f(x)=2ex+2x−1f\left(x\right)=2e^{x} +2x-1 ; F(0)=1F\left(0\right)=1

Correction
F(x)=2ex+x2−x+k.F\left(x\right)=2e^{x} +x^{2} -x+k.
F(0)=1F\left(0\right)=1 équivaut successivement à :
2e0+02−0+k=12e^{0} +0^{2} -0+k=1
k=−1k=-1

Ainsi : F(x)=2ex+x2−x−1F\left(x\right)=2e^{x} +x^{2} -x-1
Question 6

f(x)=1x−1x2f\left(x\right)=\frac{1}{x} -\frac{1}{x^{2} } ; F(1)=2F\left(1\right)=2

Correction
F(x)=ln⁡(x)+1x+k.F\left(x\right)=\ln \left(x\right)+\frac{1}{x} +k.
F(1)=2F\left(1\right)=2 équivaut successivement à :
ln⁡(1)+11+k=2\ln \left(1\right)+\frac{1}{1} +k=2
1+k=21+k=2
k=1k=1
Ainsi : F(x)=ln⁡(x)+1x+1F\left(x\right)=\ln \left(x\right)+\frac{1}{x} +1
Question 7

f(x)=x3−2x2f\left(x\right)=x^{3} -\frac{2}{x^2} ; F(1)=14F\left(1\right)=\frac{1}{4}

Correction
F(x)=14x4+2x+kF\left(x\right)=\frac{1}{4} x^{4} +\frac{2}{x}+k
Or F(1)=14F\left(1\right)=\frac{1}{4} équivaut successivement à
14×(1)4+21+k=14\frac{1}{4} \times \left(1\right)^{4}+\frac{2}{1}+k=\frac{1}{4}
14+2+k=14\frac{1}{4}+2+k=\frac{1}{4}
2+k=14−142+k=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}
2+k=02+k=0
k=−2k=-2

Ainsi : F(x)=14x4+2x−2F\left(x\right)=\frac{1}{4} x^{4} +\frac{2}{x}-2 .