Calculs d'intégrales - Exercice 3

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On considère la fonction ff continue sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ définie par f(x)=ln⁡(x)f\left(x\right)=\ln \left(x\right)
Question 1

Soit FF la fonction sur ]0;+∞[\left]0;+\infty \right[ définie par F(x)=xln⁡(x)−x+1F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x+1.
Montrer que FF est une primitive de la fonction ff.

Correction
On reconnait la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=xu\left(x\right)=x et v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right). On note w(x)=−x+1w\left(x\right)=-x+1
Ainsi : u′(x)=1u'\left(x\right)=1 et v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} , enfin w′(x)=−1w'\left(x\right)=-1
Il vient alors que :
F′(x)=ln⁡(x)+x×1x−1F'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x} -1
Ainsi : F′(x)=ln⁡(x)F'\left(x\right)=\ln \left(x\right)
On remarque que :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

Cela signifie qu'une primitive de ff est la fonction FF.
Question 2

Calculer ensuite I=∫12(f(x))dxI=\int _{1}^{2}\left(f\left(x\right)\right) dx

Correction
I=∫12(f(x))dxI=\int _{1}^{2}\left(f\left(x\right)\right) dx équivaut successivement à :
I=F(2)−F(1)I=F\left(2\right)-F\left(1\right)
I=(2ln⁡(2)−2+1)−(ln⁡(1)−1+1)I=\left(2\ln \left(2\right)-2+1\right)-\left(\ln \left(1\right)-1+1\right)
I=2ln⁡(2)−1I=2\ln \left(2\right)-1
Finalement :
∫12(f(x))dx=2ln⁡(2)−1\int _{1}^{2}\left(f\left(x\right)\right) dx=2\ln \left(2\right)-1

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