Calculs d'intégrales - Exercice 3

On reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$. On note $$w\left(x\right)=-x+1$$
Ainsi : $$u'\left(x\right)=1$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$, enfin $$w'\left(x\right)=-1$$
Il vient alors que :
$$F'\left(x\right)=\ln \left(x\right)+x\times \frac{1}{x} -1$$
Ainsi : $$F'\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$
On remarque que :
Cela signifie qu'une primitive de $$f$$ est la fonction $$F$$.

$$I=\int _{1}^{2}\left(f\left(x\right)\right) dx$$ équivaut successivement à :
$$I=F\left(2\right)-F\left(1\right)$$
$$I=\left(2\ln \left(2\right)-2+1\right)-\left(\ln \left(1\right)-1+1\right)$$
$$I=2\ln \left(2\right)-1$$
Finalement :