Calculs d'intégrales - Exercice 2

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On considère la fonction ff continue sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ définie par f(x)=e−x(−2−x)+6f\left(x\right)=e^{-x} \left(-2-x\right)+6
Question 1

Soit FF la fonction sur ]−∞;+∞[\left]-\infty ;+\infty \right[ définie par F(x)=e−x(x+3)+6x−1F\left(x\right)=e^{-x} \left(x+3\right)+6x-1.
Montrer que FF est une primitive de la fonction ff.

Correction
Nous allons dériver FF.
On reconnait la forme : (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)'=u'v+uv' avec u(x)=e−xu\left(x\right)=e^{-x} et v(x)=x+3v\left(x\right)=x+3.
On note w(x)=6x−1w\left(x\right)=6x-1
Ainsi : u′(x)=−e−xu'\left(x\right)=-e^{-x} et v′(x)=1v'\left(x\right)=1, enfin w′(x)=6w'\left(x\right)=6
Il vient alors que :
F′(x)=−e−x(x+3)+e−x+6F'\left(x\right)=-e^{-x} \left(x+3\right)+e^{-x} +6 équivaut successivement à :
F′(x)=e−x(−x−3+1)+6F'\left(x\right)=e^{-x} \left(-x-3+1\right)+6
F′(x)=e−x(−x−2)+6F'\left(x\right)=e^{-x} \left(-x-2\right)+6
On remarque que :
F′(x)=f(x)F'\left(x\right)=f\left(x\right)

Cela signifie qu'une primitive de ff est la fonction FF.
Question 2

Calculer ensuite I=∫01(f(x))dxI=\int _{0}^{1}\left(f\left(x\right)\right) dx

Correction
I=∫01(f(x))dxI=\int _{0}^{1}\left(f\left(x\right)\right) dx équivaut successivement à :
I=F(1)−F(0)I=F\left(1\right)-F\left(0\right)
I=(e−1(1+3)+6−1)−(e0(0+3)+6×0−1)I=\left(e^{-1} \left(1+3\right)+6-1\right)-\left(e^{0} \left(0+3\right)+6\times 0-1\right)
I=(4e−1+5)−(3−1)I=\left(4e^{-1} +5\right)-\left(3-1\right)
I=4e−1+3I=4e^{-1} +3
Finalement :
∫01(f(x))dx=4e−1+3\int _{0}^{1}\left(f\left(x\right)\right) dx=4e^{-1} +3

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