Calculs d'intégrales - Exercice 1

Soit $$f\left(x\right)=2x+1$$ alors $$F\left(x\right)=x^{2} +x$$. (dans le calcul d'une intégrale on ne mettra pas le $$k$$ dans la primitive)
Il vient alors que :
$$I=F\left(1\right)-F\left(0\right)$$ équivaut successivement à :
$$I=\left(1^{2} +1\right)-\left(0^{2} +0\right)$$
$$I=2$$
Finalement :

Soit $$f\left(x\right)=x^{2} -x$$ alors $$F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(1\right)-F\left(-1\right)$$ équivaut successivement à :
$$I=\left(\frac{1}{3} \times \left(1\right)^{3} -\frac{1}{2} \times \left(1\right)^{2} \right)-\left(\frac{1}{3} \times \left(-1\right)^{3} -\frac{1}{2} \times \left(-1\right)^{2} \right)$$
$$I=\frac{2}{3}$$
Finalement :

Soit $$f\left(x\right)=x^{2} +3x+1$$ alors $$F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(1\right)-F\left(-2\right)$$ équivaut successivement à :
$$I=\left(\frac{1}{3} \times \left(1\right)^{3} +\frac{3}{2} \times \left(1\right)^{2} +1\right)-\left(\frac{1}{3} \times \left(-2\right)^{3} +\frac{3}{2} \times \left(-2\right)^{2} -2\right)$$
$$I=\frac{3}{2}$$
Finalement :

Dans cet exemple, nous avons des $$t$$ au lieu de la variable $$x$$ de d'habitude. On fera la primitive comme d'abitude.
$$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right) dt$$
On simplifie l'expression :
$$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{1}{3} t^{3} +\frac{2}{3} t^{2} +\frac{1}{3} t-\frac{1}{3} \right) dt$$
Soit $$f\left(t\right)=\frac{1}{3} t^{3} +\frac{2}{3} t^{2} +\frac{1}{3} t-\frac{1}{3}$$ alors $$F\left(t\right)=\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(1\right)-F\left(0\right)$$ équivaut successivement à :
$$I=\left(\frac{1}{12} \times 1^{4} +\frac{2}{9} \times 1^{3} +\frac{1}{6} \times 1^{2} -\frac{1}{3} \times 1\right)-\left(\frac{1}{12} \times 0^{4} +\frac{2}{9} \times 0^{3} +\frac{1}{6} \times 0^{2} -\frac{1}{3} \times 0\right)$$
$$I=\frac{1}{12} +\frac{2}{9} +\frac{1}{6} -\frac{1}{3} -0$$
$$I=\frac{5}{36}$$
Finalement :

Soit $$f\left(t\right)=3t+4$$ alors $$F\left(t\right)=\frac{3}{2} t^{2} +4t$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(1\right)-F\left(-1\right)$$ équivaut successivement à :
$$I=\left(\frac{3}{2} +4\right)-\left(\frac{3}{2} \times \left(-1\right)^{2} +4\times \left(-1\right)\right)$$
$$I=8$$
Finalement :

Soit $$f\left(x\right)=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)$$, on développe $$f$$, on obtient $$f\left(x\right)=2x^{2} -2$$
Alors $$F\left(x\right)=\frac{2}{3} x^{3} -2x$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(2\right)-F\left(0\right)$$
$$I=\left(\frac{2}{3} \times \left(2\right)^{3} -2\times 2\right)-\left(0\right)$$
$$I=\frac{4}{3}$$
Finalement :

$$I=\int _{0}^{1} dx$$ s'écrit également : $$I=\int _{0}^{1}1 dx$$
Soit $$f\left(x\right)=1$$~alors $$F\left(x\right)=x$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(1\right)-F\left(0\right)$$ équivaut successivement à :
$$I=\left(1\right)-\left(0\right)$$
$$I=1$$
Finalement :

Soit $$f\left(x\right)=1$$ alors $$F\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x}$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(2\right)-F\left(1\right)$$ équivaut successivement à :
$$I=\left(-\ln \left(2\right)-\frac{2}{2} \right)-\left(-\ln \left(1\right)-\frac{2}{1} \right)$$
$$I=-\ln \left(2\right)-1+2$$
$$I=-\ln \left(2\right)+1$$
Finalement :

Soit $$f\left(t\right)=\frac{2t^{2} -t+5}{t}$$, on simplifie l'écriture de $$f$$ qui devient $$f\left(t\right)=2t-1+\frac{5}{t}$$
Alors $$F\left(t\right)=t^{2} -t+5\ln \left(t\right)$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(2\right)-F\left(1\right)$$
$$I=\left(2^{2} -2+5\ln \left(2\right)\right)-\left(1-1+5\ln \left(1\right)\right)$$
$$I=5\ln \left(2\right)+2$$
Finalement :

Soit $$f\left(x\right)=2+\frac{1}{x}$$ alors $$F\left(x\right)=2x+\ln \left(x\right)$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(e\right)-F\left(1\right)$$ équivaut successivement à :
$$I=\left(2\times e+\ln \left(e\right)\right)-\left(2\times 1+\ln \left(1\right)\right)$$
$$I=2e+1-2$$
Finalement :

Soit $$f\left(t\right)=2e^{t} +t$$ alors $$F\left(t\right)=2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2}$$.
Il vient alors que :
$$I=F\left(1\right)-F\left(0\right)$$ équivaut successivement à :
$$I=\left(2e^{1} +\frac{1}{2} \right)-\left(2e^{0} +\frac{1}{2} \times 0\right)$$
$$I=2e^{1} -\frac{3}{2}$$
Finalement :