Calculs d'intégrales - Exercice 1

30 min

Calculer les intégrales suivantes.

Comment calculer l'intégrale

I=\int _{a}^{b}f\left(x\right) dx

?
1^ère étape : on calcule une primitive de

f

notée

F

.
2^ème étape :

I=F\left(b\right)-F\left(a\right)

et on effectue le calcul numérique.

Question 1

$I=\int _{0}^{1}\left(2x+1\right) dx$

Correction

Soit

f\left(x\right)=2x+1

alors

F\left(x\right)=x^{2} +x

. (dans le calcul d'une intégrale on ne mettra pas le

k

dans la primitive)
Il vient alors que :

I=F\left(1\right)-F\left(0\right)

équivaut successivement à :

I=\left(1^{2} +1\right)-\left(0^{2} +0\right)

I=2

Finalement :

\int _{0}^{1}\left(2x+1\right) dx=2

Question 2

$I=\int _{-1}^{1}\left(x^{2} -x\right) dx$

Correction

Soit

f\left(x\right)=x^{2} -x

alors

F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} -\frac{1}{2} x

.
Il vient alors que :

I=F\left(1\right)-F\left(-1\right)

équivaut successivement à :

I=\left(\frac{1}{3} \times \left(1\right)^{3} -\frac{1}{2} \times \left(1\right)^{2} \right)-\left(\frac{1}{3} \times \left(-1\right)^{3} -\frac{1}{2} \times \left(-1\right)^{2} \right)

I=\frac{2}{3}

Finalement :

\int _{-1}^{1}\left(x^{2} -x\right) dx=\frac{2}{3}

Question 3

$I=\int _{-2}^{1}\left(x^{2} +3x+1\right) dx$

Correction

Soit

f\left(x\right)=x^{2} +3x+1

alors

F\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} +\frac{3}{2} x^{2} +x

.
Il vient alors que :

I=F\left(1\right)-F\left(-2\right)

équivaut successivement à :

I=\left(\frac{1}{3} \times \left(1\right)^{3} +\frac{3}{2} \times \left(1\right)^{2} +1\right)-\left(\frac{1}{3} \times \left(-2\right)^{3} +\frac{3}{2} \times \left(-2\right)^{2} -2\right)

I=\frac{3}{2}

Finalement :

\int _{-2}^{1}\left(x^{2} +3x+1\right) dx=\frac{3}{2}

Question 4

$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right) dt$

Correction

Dans cet exemple, nous avons des

t

au lieu de la variable

x

de d'habitude. On fera la primitive comme d'abitude.

I=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right) dt

On simplifie l'expression :

I=\int _{0}^{1}\left(\frac{1}{3} t^{3} +\frac{2}{3} t^{2} +\frac{1}{3} t-\frac{1}{3} \right) dt

Soit

f\left(t\right)=\frac{1}{3} t^{3} +\frac{2}{3} t^{2} +\frac{1}{3} t-\frac{1}{3}

alors

F\left(t\right)=\frac{1}{12} t^{4} +\frac{2}{9} t^{3} +\frac{1}{6} t^{2} -\frac{1}{3} t

.
Il vient alors que :

I=F\left(1\right)-F\left(0\right)

équivaut successivement à :

I=\left(\frac{1}{12} \times 1^{4} +\frac{2}{9} \times 1^{3} +\frac{1}{6} \times 1^{2} -\frac{1}{3} \times 1\right)-\left(\frac{1}{12} \times 0^{4} +\frac{2}{9} \times 0^{3} +\frac{1}{6} \times 0^{2} -\frac{1}{3} \times 0\right)

I=\frac{1}{12} +\frac{2}{9} +\frac{1}{6} -\frac{1}{3} -0

I=\frac{5}{36}

Finalement :

\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right) dt=\frac{5}{36}

Question 5

$I=\int _{-1}^{1}\left(3t+4\right) dt$

Correction

Soit

f\left(t\right)=3t+4

alors

F\left(t\right)=\frac{3}{2} t^{2} +4t

.
Il vient alors que :

I=F\left(1\right)-F\left(-1\right)

équivaut successivement à :

I=\left(\frac{3}{2} +4\right)-\left(\frac{3}{2} \times \left(-1\right)^{2} +4\times \left(-1\right)\right)

I=8

Finalement :

\int _{-1}^{1}\left(3t+4\right) dt=8

Question 6

$I=\int _{0}^{2}\left(2x+2\right)\left(x-1\right) dx$

Correction

Soit

f\left(x\right)=\left(2x+2\right)\left(x-1\right)

, on développe

f

, on obtient

f\left(x\right)=2x^{2} -2

Alors

F\left(x\right)=\frac{2}{3} x^{3} -2x

.
Il vient alors que :

I=F\left(2\right)-F\left(0\right)

I=\left(\frac{2}{3} \times \left(2\right)^{3} -2\times 2\right)-\left(0\right)

I=\frac{4}{3}

Finalement :

\int _{0}^{2}\left(2x+2\right)\left(x-1\right) dx=\frac{4}{3}

Question 7

$I=\int _{0}^{1} dx$

Correction

I=\int _{0}^{1} dx

s'écrit également :

I=\int _{0}^{1}1 dx

Soit

f\left(x\right)=1

~alors

F\left(x\right)=x

.
Il vient alors que :

I=F\left(1\right)-F\left(0\right)

équivaut successivement à :

I=\left(1\right)-\left(0\right)

I=1

Finalement :

\int _{0}^{1} dx=1

Question 8

$I=\int _{1}^{2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) dx$

Correction

Soit

f\left(x\right)=1

alors

F\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-\frac{2}{x}

.
Il vient alors que :

I=F\left(2\right)-F\left(1\right)

équivaut successivement à :

I=\left(-\ln \left(2\right)-\frac{2}{2} \right)-\left(-\ln \left(1\right)-\frac{2}{1} \right)

I=-\ln \left(2\right)-1+2

I=-\ln \left(2\right)+1

Finalement :

\int _{1}^{2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) dx=-\ln \left(2\right)+1

Question 9

$I=\int _{1}^{2}\left(\frac{2t^{2} -t+5}{t} \right) dt$

Correction

Soit

f\left(t\right)=\frac{2t^{2} -t+5}{t}

, on simplifie l'écriture de

f

qui devient

f\left(t\right)=2t-1+\frac{5}{t}

Alors

F\left(t\right)=t^{2} -t+5\ln \left(t\right)

.
Il vient alors que :

I=F\left(2\right)-F\left(1\right)

I=\left(2^{2} -2+5\ln \left(2\right)\right)-\left(1-1+5\ln \left(1\right)\right)

I=5\ln \left(2\right)+2

Finalement :

\int _{1}^{2}\left(\frac{2t^{2} -t+5}{t} \right) dt=5\ln \left(2\right)+2

Question 10

$I=\int _{1}^{e}\left(2+\frac{1}{x} \right) dx$

Correction

Soit

f\left(x\right)=2+\frac{1}{x}

alors

F\left(x\right)=2x+\ln \left(x\right)

.
Il vient alors que :

I=F\left(e\right)-F\left(1\right)

équivaut successivement à :

I=\left(2\times e+\ln \left(e\right)\right)-\left(2\times 1+\ln \left(1\right)\right)

I=2e+1-2

Finalement :

\int _{1}^{e}\left(2+\frac{1}{x} \right) dx=2e-1

Question 11

$I=\int _{0}^{1}\left(2e^{t} +t\right) dt$

Correction

Soit

f\left(t\right)=2e^{t} +t

alors

F\left(t\right)=2e^{t} +\frac{1}{2} t^{2}

.
Il vient alors que :

I=F\left(1\right)-F\left(0\right)

équivaut successivement à :

I=\left(2e^{1} +\frac{1}{2} \right)-\left(2e^{0} +\frac{1}{2} \times 0\right)

I=2e^{1} -\frac{3}{2}

Finalement :

\int _{0}^{1}\left(2e^{t} +t\right) dt=2e^{1} -\frac{3}{2}

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Calculs d'intégrales - Exercice 1

I=∫01(2x+1)dxI=\int _{0}^{1}\left(2x+1\right) dxI=∫01​(2x+1)dx

I=∫−11(x2−x)dxI=\int _{-1}^{1}\left(x^{2} -x\right) dxI=∫−11​(x2−x)dx

I=∫−21(x2+3x+1)dxI=\int _{-2}^{1}\left(x^{2} +3x+1\right) dxI=∫−21​(x2+3x+1)dx

I=∫01(t3+2t2+t−13)dtI=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right) dtI=∫01​(3t3+2t2+t−1​)dt

I=∫−11(3t+4)dtI=\int _{-1}^{1}\left(3t+4\right) dtI=∫−11​(3t+4)dt

I=∫02(2x+2)(x−1)dxI=\int _{0}^{2}\left(2x+2\right)\left(x-1\right) dxI=∫02​(2x+2)(x−1)dx

I=∫01dxI=\int _{0}^{1} dxI=∫01​dx

I=∫12(−1x+2x2)dxI=\int _{1}^{2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) dxI=∫12​(−x1​+x22​)dx

I=∫12(2t2−t+5t)dtI=\int _{1}^{2}\left(\frac{2t^{2} -t+5}{t} \right) dtI=∫12​(t2t2−t+5​)dt

I=∫1e(2+1x)dxI=\int _{1}^{e}\left(2+\frac{1}{x} \right) dxI=∫1e​(2+x1​)dx

I=∫01(2et+t)dtI=\int _{0}^{1}\left(2e^{t} +t\right) dtI=∫01​(2et+t)dt

$I=\int _{0}^{1}\left(2x+1\right) dx$

$I=\int _{-1}^{1}\left(x^{2} -x\right) dx$

$I=\int _{-2}^{1}\left(x^{2} +3x+1\right) dx$

$I=\int _{0}^{1}\left(\frac{t^{3} +2t^{2} +t-1}{3} \right) dt$

$I=\int _{-1}^{1}\left(3t+4\right) dt$

$I=\int _{0}^{2}\left(2x+2\right)\left(x-1\right) dx$

$I=\int _{0}^{1} dx$

$I=\int _{1}^{2}\left(-\frac{1}{x} +\frac{2}{x^{2} } \right) dx$

$I=\int _{1}^{2}\left(\frac{2t^{2} -t+5}{t} \right) dt$

$I=\int _{1}^{e}\left(2+\frac{1}{x} \right) dx$

$I=\int _{0}^{1}\left(2e^{t} +t\right) dt$