Les suites numériques

Problèmes sur les suites - Exercice 3

35 min
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Le 1er janvier 20132013, une grande entreprise compte 15001500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 1010% de l'effectif du 11er janvier partira à la retraite au cours de l'année.
Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100100 jeunes dans l'année.
Pour tout entier naturel nn, on appelle unu_{n} le nombre d'employés de l'entreprise le 11er janvier de l'année (2013+n)(2013+n)
Question 1

Calculer u0u_{0}, u1u_{1} et u2u_{2}

Correction
D'après l'énoncé,
u0=1500u_{0} =1500
, c'est-à-dire 15001500 personnes dans l'entreprise en 20132013.
Il vient alors que :
u1=u0×0,9+100u_{1} =u_{0} \times 0,9+100 ce qui donne u1=1500×0,9+100u_{1} =1500\times 0,9+100 d'où
u1=1450u_{1} =1450
c'est-à-dire 14501450 personnes dans l'entreprise en 20142014.
u2=u1×0,9+100u_{2} =u_{1} \times 0,9+100 ce qui donne u2=1450×0,9+100u_{2} =1450\times 0,9+100 d'où
u2=1405u_{2} =1405
c'est-à-dire 14051405 personnes dans l'entreprise en 20152015.
Question 2

La suite uu de terme général unu_{n} est-elle arithmétique ? géométrique ?
Justifiez les réponses.

Correction
 D’une part :\red{\text{ D'une part :}} u1−u0=1450−1500=−50u_{1} -u_{0} =1450-1500=-50 et u2−u1=1405−1450=−45u_{2} -u_{1} =1405-1450=-45
Il vient que :
u1−u0≠u2−u1u_{1} -u_{0} \ne u_{2} -u_{1}
, la suite unu_{n} n'est pas arithmétique.
 D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}} u1u0=14501500=2930\frac{u_{1} }{u_{0} } =\frac{1450}{1500} =\frac{29}{30} et u2u1=14051450=281290\frac{u_{2} }{u_{1} } =\frac{1405}{1450} =\frac{281}{290}
Il vient que :
u1u0≠u2u1\frac{u_{1} }{u_{0} } \ne \frac{u_{2} }{u_{1} }
, la suite unu_{n} n'est pas géométrique.
Question 3
On admet que, pour tout entier naturel nn, on a un+1=0,9un+100u_{n+1} =0,9u_{n} +100
Pour tout entier naturel nn, on pose vn=un−1000v_{n} =u_{n} -1000

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n} \right) de terme général vnv_{n} est géométrique.
Précisez la raison.

Correction
vn=un−1000v_{n} =u_{n} -1000
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
vn+1=un+1−1000v_{n+1} =u_{n+1} -1000
vn+1=0,9un+100−1000v_{n+1} =0,9u_{n} +100-1000
vn+1=0,9un−900v_{n+1} =0,9u_{n} -900.
vn+1=0,9un−900v_{n+1} ={\color{blue}0,9}u_{n} -900 . Nous allons factoriser l'expression par 0,9{\color{blue}0,9} .
vn+1=0,9(un−9000,9)v_{n+1} =0,9\left(u_{n} -\frac{900}{0,9} \right)
vn+1=0,9(un−1000)v_{n+1} =0,9\left({\color{red} u_{n} -1000}\right) . Or : vn=un−1000{\color{red}v_{n} = u_{n} -1000}
vn+1=0,9vnv_{n+1} =0,9v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,9q=0,9 et de premier terme v0=1500−1000=500v_{0} =1500-1000=500 donc v0=500v_{0} =500.
Question 4

Exprimez vnv_{n} en fonction de nn.
En déduire que pour tout entier naturel nn , un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
vn=500×0,9nv_{n} =500\times 0,9^{n}

Or on sait que vn=un−1000v_{n} =u_{n} -1000 donc vn+1000=unv_{n} +1000=u_{n}
Il vient alors que :
un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000
Question 5

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n} \right)

Correction
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0<0,9<10< 0,9<1 alors :
lim⁡n→+∞(0,9)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,9\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞500×(0,9)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 500\times \left(0,9\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞500×(0,9)n+1000=1000\lim\limits_{n\to +\infty } 500\times \left(0,9\right)^{n} +1000=1000
Ainsi :
lim⁡n→+∞un=1000\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =1000
Question 6

Démontrer que pour tout entier naturel nn : un+1−un=−50×0,9nu_{n+1} -u_{n} =-50\times 0,9^{n}
En déduire la variation de la suite (un)\left(u_{n} \right)

Correction
On sait que : un=500×0,9n+1000u_{n} =500\times 0,9^{n} +1000 donc :un+1=500×0,9n+1+1000u_{n+1} =500\times 0,9^{n+1} +1000
Il vient alors que :
un+1−un=500×0,9n+1+1000−(500×0,9n+1000)u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} +1000-\left(500\times 0,9^{n} +1000\right)
un+1−un=500×0,9n+1+1000−500×0,9n−1000u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} +1000-500\times 0,9^{n} -1000
un+1−un=500×0,9n+1−500×0,9nu_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n+1} -500\times 0,9^{n}
On rappelle que : 0,9n+1=0,9n×0,90,9^{n+1} =0,9^{n} \times 0,9, ce qui donne :
un+1−un=500×0,9n×0,9−500×0,9nu_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times 0,9-500\times 0,9^{n}
On factorise par 500×0,9n500\times 0,9^{n} , on a :
un+1−un=500×0,9n×(0,9−1)u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times \left(0,9-1\right)
un+1−un=500×0,9n×(−0,1)u_{n+1} -u_{n} =500\times 0,9^{n} \times \left(-0,1\right)
un+1−un=−50×0,9nu_{n+1} -u_{n} =-50\times 0,9^{n}

Or −50<0-50<0 et 0,9n>00,9^{n} >0 donc −50×0,9n<0-50\times 0,9^{n} <0
Finalement : un+1−un<0u_{n+1} -u_{n} <0
La suite (un)\left(u_{n} \right) est donc décroissante.