Les suites numériques

Problèmes sur les suites - Exercice 2

35 min
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Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents événements qui s'y déroulent.
L'agence souhaite dépasser les 40004000 journaux vendus par semaine.
Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population.
Une étude de marché estime à 12001200 le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 22% chaque semaine pour les éditions suivantes.
On modélise cette situation par une suite (un)\left(u_{n} \right) où unu_{n} représente le nombre de journaux vendus nn semaines après le début de l'opération.
On a donc u0=1200u_{0} =1200
Question 1

Calculer le nombre u1u_{1} de journaux vendus une semaine après le début de l'opération

Correction
On sait que : u0=1200u_{0} = 1200
Chaque semaine il y a une progression de 22%.
Il s’agit donc d’une augmentation de 22% donc un coefficient multiplicateur que l’on note q=1+2100=1,02q= 1 + \frac{2}{100} = 1,02
Ainsi : u1=u0×1,02u_{1} =u_{0} \times 1,02
Donc :
u1=1200×1,02=1224u_{1} =1200\times 1,02=1224
Question 2

Ecrire, pour tout entier naturel nn, l'expression de unu_{n} en fonction de nn

Correction
On a vu à la question précédente que l'on multipliait par le coefficient multiplicateur 1,021,02.
Il s'agit donc d'une suite geˊomeˊtrique{\color{blue}\text{géométrique}} de raison q=1,02q=1,02 et de premier terme u0=1200u_{0} =1200.
L'expression de unu_{n} en fonction de nn s'écrit un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n}
Il en résulte que :
un=1200×1,02nu_{n} =1200\times 1,02^{n}
Question 3

A l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à 1500

Correction
En utilisant la calculatrice, on remarque que u12≈1521,89u_{12} \approx 1521,89
A partir de la 1212ème semaine le nombre de journaux vendus sera supérieur à 15001500.
Question 4

Compléter l'algorithme qui permet de calculer le rang NN à partir duquel uN≥4000u_{N} \ge 4000
VARIABLES
UU est un réel
NN est un entier naturel
INITIALISATION
UU prend la valeur 12001200
NN prend la valeur 00
TRAITEMENT
Tant que UU .......... 40004000
   NN prend la valeur ...........
   UU prend la valeur ........... ×U\times U
Fin tant que
SORTIE
Afficher NN

Correction
VARIABLES
U est un réel
N est un entier naturel
INITIALISATION
UU prend la valeur 12001200
NN prend la valeur 00
TRAITEMENT
Tant que UU <{\color{blue}<} 40004000
   NN prend la valeur N+1{\color{blue}N+1}
   UU prend la valeur 1,02{\color{blue}1,02} ×\times UU
Fin tant que
SORTIE
Afficher NN
Question 5

Montrer que, pour tout entier naturel nn, on a 1+1,02+1,022+…+1,02n=50×(1,02n+1−1)1+1,02+1,02^{2} +\ldots +1,02^{n} =50\times \left(1,02^{n+1} -1\right)

Correction
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u0+u1+…+un=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison q=1,02q=1,02
Ainsi :
1+q+q2+…+qn=(premier terme)×(1−qnombres de termes1−q)1+q+q^{2} +\ldots +q^{n} =\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
1+1,02+1,022+…+1,02n=1×(1−1,02n+11−1,02)1+1,02+1,02^{2} +\ldots +1,02^{n} =1\times \left(\frac{1-1,02^{n+1} }{1-1,02} \right)
Il y a n+1n+1 termes car 1=1,0201=1,02^{0} donc on part de 1,0201,02^{0} et on va jusqu'à 1,02n1,02^{n} , on a bien n+1n+1 termes.
Ainsi :
1+1,02+1,022+…+1,02n=1×1−1,02n+10,021+1,02+1,02^{2} +\ldots +1,02^{n} =1\times \frac{1-1,02^{n+1} }{0,02}
1+1,02+1,022+…+1,02n=10,02×(1−1,02n+1)1+1,02+1,02^{2} +\ldots +1,02^{n} =\frac{1}{0,02} \times \left(1-1,02^{n+1} \right)
1+1,02+1,022+…+1,02n=50×(1−1,02n+1)1+1,02+1,02^{2} +\ldots +1,02^{n} =50\times \left(1-1,02^{n+1} \right)
car 10,02=50\frac{1}{0,02} =50
Question 6

On pose, pour tout entier naturel nn, Sn=u0+u1+…+unS_{n} =u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}
A l'aide de la question précédente, montrer que l'on a Sn=60000×(1,02n+1−1)S_{n} =60000\times \left(1,02^{n+1} -1\right)

Correction
Sn=u0+u1+…+unS_{n} =u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n} , on peut aussi l'écrire :
Sn=1200+1200×1,02+1200×1,022+1200×1,023+…+1200×1,02nS_{n} =1200+1200\times 1,02+1200\times 1,02^{2} +1200\times 1,02^{3} +\ldots +1200\times 1,02^{n}
On factorise par 12001200, il vient :
Sn=1200×(1+1,02+1,022+1,023+…+1,02n)S_{n} =1200\times \left(1+1,02+1,02^{2} +1,02^{3} +\ldots +1,02^{n} \right)
Or : 1+1,02+1,022+…+1,02n=50×(1−1,02n+1)1+1,02+1,02^{2} +\ldots +1,02^{n} =50\times \left(1-1,02^{n+1} \right) D'après la question précédente.
Donc : Sn=1200×(50×(1−1,02n+1))S_{n} =1200\times \left(50\times \left(1-1,02^{n+1} \right)\right)
D'où :
Sn=60000×(1,02n+1−1)S_{n} =60000\times \left(1,02^{n+1} -1\right)
Question 7

Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 5252 semaines.
Le résultat sera arrondi à l'unité.

Correction
Le nombre total de journaux vendus au bout de 5252 semaines est S52S_{52} c'est-à-dire :
S52=60000×(1,0252+1−1)S_{52} =60000\times \left(1,02^{52+1} -1\right)
S52≈111381S_{52} \approx 111381

Le nombre total de journaux vendus au bout de 5252 semaines est de 111381111 381 journaux.