Exercices types : Sans la notion de suite arithmético-géométrique - Exercice 2

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En 20082008, une entreprise internationale s’est dotée d’un centre de visio-conférence qui permet de réaliser de grandes économies dans le budget « déplacement des cadres ».
Lors d’un conseil d’administration de fin d’année, le responsable du centre de visioconférence fait le compte rendu suivant : on a observé un fort accroissement de l’utilisation de cette technologie, le nombre de visio-conférences, qui était de 3030 en 20082008, a augmenté de 2020 % tous les ans.
Question 1
On s’intéresse au nombre d’utilisations de la visio-conférence lors de l’année 2008+n2008+n. On modélise la situation par une suite géométrique (un)\left(u_{n} \right) où le terme unu_{n} est une estimation de ce nombre d’utilisations lors de l’année 2008+n2008+n.

Donner la raison qq et le premier terme u0u_{0} de cette suite.

Correction
  • Augmenter un nombre xx de t%t\% revient à le multiplier par k=1+t100k=1+\frac{t}{100}.
  • Diminuer un nombre xx de t%t\% revient à le multiplier par k=1−t100k=1-\frac{t}{100}.
Augmenter de 2020%, c’est multiplier par 1+201001+\frac{20}{100} donc la raison de la suite (un)\left(u_{n} \right) est q=1,2q = 1,2.
Le nombre de visio-conférences était de 3030 en 20082008 donc u0=30u_{0}=30.
Question 2

Donner l'expression de unu_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi : un=30×1,2nu_{n} =30 \times 1,2^{n}
Question 3

Vérifier qu'en 20132013 on a atteint 7474 utilisations de la visioconférence.

Correction
L'année 20082008 correspond à la valeur donnée par : u0u_{0}
Donc 2008+5=20132008+5=2013. Il en résulte que l'année 20132013 correspond au rang n=5n=5.
Ainsi, l'année 20132013 correspond à la valeur donnée par : u5u_{5}
Il en résulte que :
u5=30×1,25u_{5} =30 \times 1,2^{5}
u5≈74,65>74u_{5} \approx 74,65>74
Donc en 20132013, on a atteint 7474 utilisations de la visio-conférence.
Question 4
On considère l'algorithme suivant :
VARIABLES
NN est un nombre entier naturel
UU et AA sont des nombres réels
ENTREE
Saisir AA
INITIALISATION
Affecter à UU la valeur 3030
Affecter à NN la valeur 00
TRAITEMENT
Tant que U<AU<A faire
    UU prend la valeur U+0,2×UU+0,2\times U
    NN prend la valeur N+1N+1
Fin tant que
SORTIE
Afficher NN

On donne la valeur 100100 à A. Recopier et compléter le tableau autant que nécessaire

Correction
Question 5

Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme ?

Correction
La valeur affichée en sortie de cet algorithme est la dernière valeur de nn, soit 77.
Question 6

Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème

Correction
n=7n = 7 correspond à 2008+7=20152008+7 = 2015 ; donc 20152015 est l’année à partir de laquelle le nombre annuel de vidéo-conférences dépassera 100100
Question 7

Le coût de l’installation des appareils de visio-conférence sera amorti quand le nombre total d’utilisations aura dépassé 400.
À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse.

Correction
On souhaite calculer la somme des termes d'une suite géométrique.
On vérifie facilement , à la calculatrice, que :
On a :
D'une part : S=u0+u1+u2+u3+u4+u5+u6≈386S =u_{0} +u_{1} +u_{2} +u_{3}+u_{4}+u_{5}+u_{6}\approx 386 Cela comptabilise le nombre d'utilisations entre l'année 2008 à 2014.
D'autre part : S=u0+u1+u2+u3+u4+u5+u6+u7≈493S =u_{0} +u_{1} +u_{2} +u_{3}+u_{4}+u_{5}+u_{6}+u_{7}\approx 493 Cela comptabilise le nombre d'utilisations entre l'année 2008 à 2015.
L’installation sera donc amortie à partir de l’année 20152015.
Le tableau ci-dessous donne le nombre total de vidéo-conférences :

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