Exercices types : Sans la notion de suite arithmético-géométrique - Exercice 1

Nous avons $$d_{1}=50$$ car le $$1$$^er jour le globe-trotteur parcourt $$50$$ km.
On sait que diminuer une quantité de $$1$$% revient à multiplier cette quantité par $$1-\frac{1}{100}$$ c'est à dire $$0,99$$.
Ainsi :
$$d_{2} =0,99\times d_{1}$$
$$d_{2} =0,99\times 50$$
$$d_{2} =49,5$$

Sachant que diminuer une quantité de $$1$$% revient à multiplier cette quantité par $$1-\frac{1}{100}$$ c'est à dire $$0,99$$. Nous avons donc une situation modélisée par une suite géométrique de raison $$q=0,99$$ et de premier terme $$u_{1}=50$$.
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à $$1$$, l'expression de $$d_{n+1}$$ en fonction de $$d_{n}$$ s'écrit alors :

L'expression de $$d_{n}$$ en fonction de $$n$$ s'écrit alors :
$$d_{n} =d_{1} \times q^{n-1}$$
Nous obtenons donc :

On a : $$S_{n} =d_{1} +d_{2} +d_{3} +\ldots +d_{n}$$ . En comptant de $$d_{1}$$ à $$d_{n}$$ nous avons $$n$$ termes.
$$S_{n} =50+50\times 0,99+50\times 0,99^{2} +\ldots +50\times 0,99^{n-1}$$
On factorise par $$50$$, il vient :
$$S_{n} =50\times \left(1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} \right)$$
Or : $$1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1}=0,99^{0}+0,99^{1}+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1}$$ . Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=0,99$$ et de premier terme $$0,99^{0}=1$$
$$1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} =1\times\frac{1-0,99^{n} }{1-0,99}$$
$$1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} =\frac{1-0,99^{n} }{0,01}$$ on rappelle que diviser par $$0,01$$ revient à multiplier par $$100$$.
$$1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} =100\times \left(1-0,99^{n} \right)$$
Donc : $$S_{n} =50\times \left(100\times \left(1-0,99^{n} \right)\right)$$
D'où :

Comme $$0<0,99<1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,99\right)^{n} =0$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 1-0,99^{n} =1$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 5000\times \left(1-0,99^{n} \right)=5000$$
Ainsi :

La suite étant une suite strictement croissante ayant pour limite $$5000$$, le sportif ne pourra pas atteindre la
distance parcourue de $$5000$$ km. C’est une valeur limite qui ne peut pas être atteinte.

Cet algorithme permet d’afficher le nombre de jour minimal, nécessaire au sportif pour parcourir la distance $$A$$.