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Les suites numériques
Exercices types : Sans la notion de suite arithmético-géométrique - Exercice 1
30 min
50
Question 1
Un globe-trotteur a décidé de parcourir
5000
5000
5000
km à pied. Il peut, le premier jour, parcourir
50
50
50
km en une journée, mais la fatigue s'accumule et sa performance diminue de
1
1
1
% chaque jour. On note
d
n
d_{n}
d
n
la distance parcourue en km durant le nième jour.
Calculer les distances
d
1
d_{1}
d
1
et
d
2
d_{2}
d
2
.
Correction
Augmenter un nombre
x
x
x
de
t
%
t\%
t
%
revient à le multiplier par
k
=
1
+
t
100
k=1+\frac{t}{100}
k
=
1
+
100
t
.
Diminuer un nombre
x
x
x
de
t
%
t\%
t
%
revient à le multiplier par
k
=
1
−
t
100
k=1-\frac{t}{100}
k
=
1
−
100
t
.
Nous avons
d
1
=
50
d_{1}=50
d
1
=
50
car le
1
1
1
er
jour le globe-trotteur parcourt
50
50
50
km.
On sait que diminuer une quantité de
1
1
1
% revient à multiplier cette quantité par
1
−
1
100
1-\frac{1}{100}
1
−
100
1
c'est à dire
0
,
99
0,99
0
,
99
.
Ainsi :
d
2
=
0
,
99
×
d
1
d_{2} =0,99\times d_{1}
d
2
=
0
,
99
×
d
1
d
2
=
0
,
99
×
50
d_{2} =0,99\times 50
d
2
=
0
,
99
×
50
d
2
=
49
,
5
d_{2} =49,5
d
2
=
49
,
5
Question 2
Quelle est la nature de la suite
(
d
n
)
\left(d_{n} \right)
(
d
n
)
? Préciser le premier terme et la raison.
Correction
Sachant que diminuer une quantité de
1
1
1
% revient à multiplier cette quantité par
1
−
1
100
1-\frac{1}{100}
1
−
100
1
c'est à dire
0
,
99
0,99
0
,
99
. Nous avons donc une situation modélisée par une
suite géométrique
de raison
q
=
0
,
99
q=0,99
q
=
0
,
99
et de premier terme
u
1
=
50
u_{1}=50
u
1
=
50
.
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à
1
1
1
, l'expression de
d
n
+
1
d_{n+1}
d
n
+
1
en fonction de
d
n
d_{n}
d
n
s'écrit alors :
d
n
+
1
=
0
,
99
×
d
n
d_{n+1} =0,99\times d_{n}
d
n
+
1
=
0
,
99
×
d
n
Question 3
En déduire que pour tout entier naturel
n
n
n
supérieur ou égal à
1
1
1
, on a :
d
n
=
50
×
0
,
9
9
n
−
1
d_{n} =50\times 0,99^{n-1}
d
n
=
50
×
0
,
9
9
n
−
1
Correction
L'expression de
d
n
d_{n}
d
n
en fonction de
n
n
n
s'écrit alors :
d
n
=
d
1
×
q
n
−
1
d_{n} =d_{1} \times q^{n-1}
d
n
=
d
1
×
q
n
−
1
Nous obtenons donc :
d
n
=
50
×
0
,
9
9
n
−
1
d_{n} =50\times 0,99^{n-1}
d
n
=
50
×
0
,
9
9
n
−
1
Question 4
Le nombre total de kilomètres parcourus au bout de
n
n
n
jours est :
S
n
=
d
1
+
d
2
+
d
3
+
…
+
d
n
S_{n} =d_{1} +d_{2} +d_{3} +\ldots +d_{n}
S
n
=
d
1
+
d
2
+
d
3
+
…
+
d
n
Montrer que :
S
n
=
5000
×
(
1
−
0
,
9
9
n
)
S_{n} =5000\times \left(1-0,99^{n} \right)
S
n
=
5000
×
(
1
−
0
,
9
9
n
)
Correction
La somme des termes d'une suite géométrique est donnée par la formule suivante :
u
0
+
u
1
+
…
+
u
n
=
(
premier terme
)
×
(
1
−
q
nombres de termes
1
−
q
)
u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{n}=\left(\text{premier terme}\right)\times \left(\frac{1-q^{\text{nombres de termes}}}{1-q}\right)
u
0
+
u
1
+
…
+
u
n
=
(
premier terme
)
×
(
1
−
q
1
−
q
nombres de termes
)
On a :
S
n
=
d
1
+
d
2
+
d
3
+
…
+
d
n
S_{n} =d_{1} +d_{2} +d_{3} +\ldots +d_{n}
S
n
=
d
1
+
d
2
+
d
3
+
…
+
d
n
. En comptant de
d
1
d_{1}
d
1
à
d
n
d_{n}
d
n
nous avons
n
n
n
termes
.
S
n
=
50
+
50
×
0
,
99
+
50
×
0
,
9
9
2
+
…
+
50
×
0
,
9
9
n
−
1
S_{n} =50+50\times 0,99+50\times 0,99^{2} +\ldots +50\times 0,99^{n-1}
S
n
=
50
+
50
×
0
,
99
+
50
×
0
,
9
9
2
+
…
+
50
×
0
,
9
9
n
−
1
On factorise par
50
50
50
, il vient :
S
n
=
50
×
(
1
+
0
,
99
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
)
S_{n} =50\times \left(1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} \right)
S
n
=
50
×
(
1
+
0
,
99
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
)
Or :
1
+
0
,
99
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
=
0
,
9
9
0
+
0
,
9
9
1
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1}=0,99^{0}+0,99^{1}+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1}
1
+
0
,
99
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
=
0
,
9
9
0
+
0
,
9
9
1
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
. Il s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison
q
=
0
,
99
q=0,99
q
=
0
,
99
et de premier terme
0
,
9
9
0
=
1
0,99^{0}=1
0
,
9
9
0
=
1
1
+
0
,
99
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
=
1
×
1
−
0
,
9
9
n
1
−
0
,
99
1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} =1\times\frac{1-0,99^{n} }{1-0,99}
1
+
0
,
99
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
=
1
×
1
−
0
,
99
1
−
0
,
9
9
n
1
+
0
,
99
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
=
1
−
0
,
9
9
n
0
,
01
1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} =\frac{1-0,99^{n} }{0,01}
1
+
0
,
99
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
=
0
,
01
1
−
0
,
9
9
n
on rappelle que diviser par
0
,
01
0,01
0
,
01
revient à multiplier par
100
100
100
.
1
+
0
,
99
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
=
100
×
(
1
−
0
,
9
9
n
)
1+0,99+0,99^{2} +\ldots +0,99^{n-1} =100\times \left(1-0,99^{n} \right)
1
+
0
,
99
+
0
,
9
9
2
+
…
+
0
,
9
9
n
−
1
=
100
×
(
1
−
0
,
9
9
n
)
Donc :
S
n
=
50
×
(
100
×
(
1
−
0
,
9
9
n
)
)
S_{n} =50\times \left(100\times \left(1-0,99^{n} \right)\right)
S
n
=
50
×
(
100
×
(
1
−
0
,
9
9
n
)
)
D'où :
S
n
=
5000
×
(
1
−
0
,
9
9
n
)
S_{n} =5000\times \left(1-0,99^{n} \right)
S
n
=
5000
×
(
1
−
0
,
9
9
n
)
Question 5
Déterminer la limite de
S
n
S_{n}
S
n
lorsque
n
n
n
tend vers
+
∞
+\infty
+
∞
.
Correction
Si
0
<
q
<
1
0<q<1
0
<
q
<
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0
n
→
+
∞
lim
q
n
=
0
.
Si
q
>
1
q >1
q
>
1
alors
lim
n
→
+
∞
q
n
=
+
∞
\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty
n
→
+
∞
lim
q
n
=
+
∞
.
Comme
0
<
0
,
99
<
1
0<0,99<1
0
<
0
,
99
<
1
alors :
lim
n
→
+
∞
(
0
,
99
)
n
=
0
\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,99\right)^{n} =0
n
→
+
∞
lim
(
0
,
99
)
n
=
0
lim
n
→
+
∞
1
−
0
,
9
9
n
=
1
\lim\limits_{n\to +\infty } 1-0,99^{n} =1
n
→
+
∞
lim
1
−
0
,
9
9
n
=
1
lim
n
→
+
∞
5000
×
(
1
−
0
,
9
9
n
)
=
5000
\lim\limits_{n\to +\infty } 5000\times \left(1-0,99^{n} \right)=5000
n
→
+
∞
lim
5000
×
(
1
−
0
,
9
9
n
)
=
5000
Ainsi :
lim
n
→
+
∞
S
n
=
5000
\lim\limits_{n\to +\infty } S_{n} =5000
n
→
+
∞
lim
S
n
=
5000
Question 6
Le globe-trotteur peut il atteindre son objectif?
Correction
La suite étant une suite strictement croissante ayant pour limite
5000
5000
5000
, le sportif ne pourra pas atteindre la
distance parcourue de
5000
5000
5000
km. C’est une valeur limite qui ne peut pas être atteinte.
Question 7
On considère l'algorithme ci-dessous :
ENTREE
Saisir
A
>
0
A>0
A
>
0
INITIALISATION
N prend la valeur
1
1
1
S prend la valeur
50
50
50
TRAITEMENT
Tant que
S
<
A
S<A
S
<
A
 
S
S
S
prend la valeur
S
+
50
×
0
,
9
9
n
S+50\times 0,99^{n}
S
+
50
×
0
,
9
9
n
 
N
N
N
prend la valeur
N
+
1
N+1
N
+
1
Fin tant que
SORTIE
Afficher
N
N
N
Quel est le rôle de cet algorithme?
Correction
Cet algorithme permet d’afficher le nombre de jour minimal, nécessaire au sportif pour parcourir la distance
A
A
A
.