Exercices types DS et Bac : $2$<sup>ème</sup> partie - Les suites numériques - TES

Question 1

Une colonie de vacances héberge des enfants dans des tentes de

10

places chacune. Pendant l’été

2017

,

160

enfants ont participé à cette colonie.
À la suite d’une étude prévisionnelle, on estime que, chaque année,

80\%

des enfants déjà inscrits se réinscrivent l’année suivante et

50

nouveaux enfants les rejoignent.

Donner une estimation du nombre d’enfants inscrits à l’été $2018$ .

Correction

Il y a

160

inscrits en

2017

. On en garde

80\%

. Il faut donc faire le calcul

160\times \frac{80}{100}=128

.
Comme il y a

50

nouveaux, cela fait

128+50=178

inscrits pour

2018

.
Le nombre d’enfants inscrits à l’été

2018

est alors de

178

.

Question 2

Donner le nombre minimal de tentes nécessaire pour loger l’ensemble des inscrits pendant l’été $2018$ .

Correction

Chaque tente propose

10

places. En

2018

, il y a

178

élèves. Il faudra alors

18

tentes.

Question 3

Soit

\left(u_{n}\right)

la suite numérique qui modélise le nombre d’inscrits lors de l’année

2017+n

. Ainsi

u_{0}=160

.

Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$ , on a : $u_{n+1} = 0,8u_{n} +50$ .

Correction

Soit

u_{n}

le nombre d’inscrits lors de l’année

2017+n

et

u_{n+1}

le nombre d’inscrits l'année suivante.
Prendre

80\%

, c’est multiplier par

\frac{80}{100}=0,8

.
Comme il y a

50

nouveaux chaque année, on passe du nombre d’inscrits l’année

n

à l’année

n+1

en multipliant par

0,8

puis en ajoutant

50

nouveaux enfants.
Donc, pour tout

n

,

u_{n+1} = 0,8u_{n} +50

.

Question 4

Voici la copie d’écran d’une feuille de tableur utilisée pour déterminer les valeurs des termes de la suite.

Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C2 pour obtenir, par recopie vers la droite, le nombre d’inscrits l’année $2017+n$ ?

Correction

La formule que l’on peut saisir dans la cellule C2 pour obtenir, par recopie vers la droite, le nombre d’inscrits l’année

2017+n

est

0.8\times

B2

+ 50

.

Question 5

Recopier et compléter ce tableau en arrondissant chacune des valeurs à l’entier.

Correction

En effet, comme

u_{n+1} = 0,8u_{n} +50

et

u_{0}=160

alors :

u_{1} = 0,8u_{0} +50=178

.
Puis nous reproduisons le même calcul pour obtenir

u_{2}

jusqu'à

u_{5}

.

Question 6

Donner une estimation du nombre d’inscrits en $2021$ .

Correction

Soit

\left(u_{n}\right)

la suite numérique qui modélise le nombre d’inscrits lors de l’année

2017+n

.

2021=2017+4

donc une estimation du nombre d’inscrits en

2021

est

u_{4} =213

.

Question 7

Soit

\left(v_{n}\right)

la suite numérique dont le terme général est défini par

v_{n} = u_{n} -250

pour tout

n \in \mathbb{N}

.

Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,8$ et préciser son terme initial.

Correction

v_{n} = u_{n} -250

On va écrire maintenant l'expression au rang

n+1

, il vient alors que :

v_{n+1} =u_{n+1} -250

On connait l'expression de

u_{n+1}

, on la remplace et on obtient :

v_{n+1} =0,8u_{n} +50-250

v_{n+1} ={\color{blue}0,8}u_{n} -200

. Nous allons factoriser l'expression par

{\color{blue}0,8}

.

v_{n+1} =0,8\left(u_{n} -\frac{200}{0,8} \right)

v_{n+1} =0,8\left({\color{red} u_{n} -250}\right)

. Or :

{\color{red}v_{n} = u_{n} -250}

Ainsi :

v_{n+1} =0,8v_{n}

Ainsi la suite

\left(v_{n} \right)

est géométrique de raison

q=0,8

et de premier terme

v_{0} =u_{0} -250=160-250

donc

v_{0} =-90

Question 8

Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ , pour tout entier naturel $n$ .

Correction

L'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ est donnée par la formule
$v_{n} =v_{0} \times q^{n}$

Ainsi :

v_{n} =\left(-90\right)\times 0,8^{n}

Question 9

Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n} = 250-90×0,8^{n}$ .

Correction

On sait que :

v_{n} = u_{n} -250

donc :

v_{n} +250=u_{n}

Il vient alors que :

u_{n} =\left(-90\right)\times 0,8^{n} +250

que l'on peut aussi écrire

u_{n} = 250-90×0,8^{n}

Question 10

Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Correction

Si $0<q<1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0$ .
Si $q >1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty$ .

Comme

0<0,8<1

alors :

\lim\limits_{n\to +\infty } 0,8^{n} =0

\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-90\right)\times 0,8^{n} =0

\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-9\right)\times \left(0,8\right)^{n} +250=250

Ainsi :

\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =250

Cela veut dire que si le modèle reste correct, le nombre d’inscrits va tendre vers

250

enfants.

Question 11

En

2017

, la colonie comptait

22

tentes. Afin de déterminer à partir de quelle année il sera nécessaire de construire une nouvelle tente, on propose l’algorithme ci-dessous :

U\leftarrow 160

N\leftarrow 0

Tant que

\ldots \ldots

faire

U\leftarrow 0,8U+50

N\leftarrow \ldots

Fin tant que

Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il permette de répondre au problème.

Correction

U\leftarrow 160

N\leftarrow 0

Tant que

{\color{blue}U\le 220}

faire

U\leftarrow 0,8U+50

N\leftarrow {\color{blue}N+1}

Fin tant que

Question 12

Quelle est la valeur de $N$ obtenue après exécution de cet algorithme ?

Correction

On a calculé dans le tableau

u_{5} = 221 > 220

donc la valeur de

N

après exécution de cet algorithme est

5

.

Exercices types DS et Bac : 222ème partie - Exercice 1

Donner une estimation du nombre d’enfants inscrits à l’été 201820182018 .

Donner le nombre minimal de tentes nécessaire pour loger l’ensemble des inscrits pendant l’été 201820182018.

Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel nnn, on a : un+1=0,8un+50u_{n+1} = 0,8u_{n} +50un+1​=0,8un​+50.

Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C2 pour obtenir, par recopie vers la droite, le nombre d’inscrits l’année 2017+n2017+n2017+n?

Recopier et compléter ce tableau en arrondissant chacune des valeurs à l’entier.

Donner une estimation du nombre d’inscrits en 202120212021.

Montrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right)(vn​) est géométrique de raison 0,80,80,8 et préciser son terme initial.

Exprimer vnv_{n}vn​ en fonction de nnn, pour tout entier naturel nnn.

Montrer que, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N, un=250−90×0,8nu_{n} = 250-90×0,8^{n}un​=250−90×0,8n.

Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right)(un​). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Recopier et compléter cet algorithme afin qu’il permette de répondre au problème.

Quelle est la valeur de NNN obtenue après exécution de cet algorithme ?

Exercices types DS et Bac : $2$ ^ème partie - Exercice 1

Donner une estimation du nombre d’enfants inscrits à l’été $2018$ .

Donner le nombre minimal de tentes nécessaire pour loger l’ensemble des inscrits pendant l’été $2018$ .

Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$ , on a : $u_{n+1} = 0,8u_{n} +50$ .

Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C2 pour obtenir, par recopie vers la droite, le nombre d’inscrits l’année $2017+n$ ?

Donner une estimation du nombre d’inscrits en $2021$ .

Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,8$ et préciser son terme initial.

Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ , pour tout entier naturel $n$ .

Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n} = 250-90×0,8^{n}$ .

Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Quelle est la valeur de $N$ obtenue après exécution de cet algorithme ?