Exercices types DS et Bac : $1$<sup>ère</sup> partie - Les suites numériques - TES

Question 1

Tous les ans,

10\%

des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement à un quotidien mais l’on compte

52

milliers de nouveaux abonnés. En

2011

, le nombre d’abonnés est égal à

620

milliers. On s’intéresse, pour tout entier naturel

n

, au nombre d’abonnés, en milliers, pour l’année

\left(2011+n\right)

. On note

u_{n}

le nombre d’abonnés en milliers pour l’année

\left(2011+n\right)

. On fixe donc

u_{0} = 620

.

Déterminer le nombre d’abonnés en $2012$ suivant ce modèle.

Correction

10\%

des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement cela signifie qu'il y a une baisse de

10\%

. Une baisse de

10\%

revient à multiplier par le coefficient multiplicateur

1-\frac{10}{100}=0,9

.
Ainsi :

620\times0,9=558

.
On rajoute

52

milliers de nouveaux abonnés, donc il y aura

558+52=610

milliers d’abonnés en

2012

.

Question 2

Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} =0,9u_{n} +52$

Correction

Il y a

u_{n}

milliers d’abonnés en

\left(2011+n\right)

. Pour passer à l’année suivante, on sait qu'il y a une baisse de

10\%

des abonnés ce qui nous donne

0,9u_{n}

puis on en ajoute

52

milliers donc pour tout entier naturel

n

:

u_{n+1} =0,9u_{n} +52

Question 3

On définit la suite

\left(v_{n}\right)

, pour tout entier naturel

n

, par :

v_{n}=u_{n}-520

Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_{0}$ .

Correction

Nous savons que

v_{n}=u_{n}-520

. Il vient alors que :

v_{n+1} =u_{n+1} -520

v_{n+1} =0,9u_{n} +52-520

v_{n+1} =0,9u_{n} -468

v_{n+1} ={\color{blue}0,9}u_{n} -468

. Nous allons factoriser l'expression par

{\color{blue}0,9}

.

v_{n+1} =0,9\left(u_{n} -\frac{468}{0,9} \right)

v_{n+1} =0,9\left({\color{red} u_{n} -520}\right)

. Or :

{\color{red}v_{n} = u_{n} -520}

D'où :

v_{n+1} =0,9v_{n}

Ainsi la suite

\left(v_{n} \right)

est géométrique de raison

q=0,9

et de premier terme

v_{0} =u_{0} -520=620-520

donc

v_{0} =100

Question 4

Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .

Correction

L'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$ est donnée par la formule
$v_{n} =v_{0} \times q^{n}$

Ainsi :

v_{n} =100\times 0,9^{n}

Question 5

En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} =100\times 0,9^{n} +520$ .

Correction

On sait que :

v_{n} =u_{n} -520

donc :

v_{n} +520=u_{n}

Il vient alors que :

u_{n} =100\times 0,9^{n} +520

Question 6

Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d’abonnés est inférieur à

540

milliers.

Recopier et compléter l’algorithme suivant afin d’afficher l’année à partir de laquelle le quotidien sera en difficulté financière.

Correction

Question 7

Résoudre l’inéquation $u_{n}\le540$ .

Correction

100\times 0,9^{n} +520\le 540

équivaut successivement à :

100\times 0,9^{n} \le 540-520

100\times 0,9^{n} \le 20

0,9^{n} \le \frac{20}{100}

0,9^{n} \le 0,2

\ln \left(0,9^{n} \right)\le \ln \left(0,2\right)

n\ln \left(0,9\right)\le \ln \left(0,2\right)

n\ge \frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,9\right)}

. Ici, on a changé le sens de l'inéquation car

\ln\left(0,9\right)<0

Question 8

Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.

Correction

Le quotidien est en difficulté financière quand

u_{n}\le540

. D'après la question

7

, nous avons vu que :

u_{n} \le 540\Leftrightarrow n\ge \frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,9\right)}

D'après la calculatrice

\frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,9\right)}\approx15,3

Donc c’est au bout de

16

ans que le quotidien sera en difficulté financière, c’est-à-dire à partir de l’année

2011+16=2027

.

Exercices types DS et Bac : 111ère partie - Exercice 4

Déterminer le nombre d’abonnés en 201220122012 suivant ce modèle.

Justifier que pour tout entier naturel nnn : un+1=0,9un+52u_{n+1} =0,9u_{n} +52un+1​=0,9un​+52

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right)(vn​) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme v0v_{0}v0​.

Exprimer vnv_{n}vn​ en fonction de nnn.

En déduire que, pour tout entier naturel nnn, un=100×0,9n+520u_{n} =100\times 0,9^{n} +520un​=100×0,9n+520.

Recopier et compléter l’algorithme suivant afin d’afficher l’année à partir de laquelle le quotidien sera en difficulté financière.

Résoudre l’inéquation un≤540u_{n}\le540un​≤540.

Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.

Exercices types DS et Bac : $1$ ^ère partie - Exercice 4

Déterminer le nombre d’abonnés en $2012$ suivant ce modèle.

Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} =0,9u_{n} +52$

Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_{0}$ .

Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ .

En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} =100\times 0,9^{n} +520$ .

Résoudre l’inéquation $u_{n}\le540$ .