Les suites numériques

Exercices types DS et Bac : 11ère partie - Exercice 4

40 min
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Question 1
Tous les ans, 10%10\% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement à un quotidien mais l’on compte 5252 milliers de nouveaux abonnés. En 20112011, le nombre d’abonnés est égal à 620620 milliers. On s’intéresse, pour tout entier naturel nn, au nombre d’abonnés, en milliers, pour l’année (2011+n)\left(2011+n\right). On note unu_{n} le nombre d’abonnés en milliers pour l’année (2011+n)\left(2011+n\right). On fixe donc u0=620u_{0} = 620.

Déterminer le nombre d’abonnés en 20122012 suivant ce modèle.

Correction
10%10\% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement cela signifie qu'il y a une baisse de 10%10\%. Une baisse de 10%10\% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1−10100=0,91-\frac{10}{100}=0,9.
Ainsi : 620×0,9=558620\times0,9=558.
On rajoute 5252 milliers de nouveaux abonnés, donc il y aura 558+52=610558+52=610 milliers d’abonnés en 20122012.
Question 2

Justifier que pour tout entier naturel nn : un+1=0,9un+52u_{n+1} =0,9u_{n} +52

Correction
Il y a unu_{n} milliers d’abonnés en (2011+n)\left(2011+n\right). Pour passer à l’année suivante, on sait qu'il y a une baisse de 10%10\% des abonnés ce qui nous donne 0,9un0,9u_{n} puis on en ajoute 5252 milliers donc pour tout entier naturel nn : un+1=0,9un+52u_{n+1} =0,9u_{n} +52
Question 3
On définit la suite (vn)\left(v_{n}\right), pour tout entier naturel nn, par : vn=un−520v_{n}=u_{n}-520

Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme v0v_{0}.

Correction
Nous savons que vn=un−520v_{n}=u_{n}-520. Il vient alors que :
vn+1=un+1−520v_{n+1} =u_{n+1} -520
vn+1=0,9un+52−520v_{n+1} =0,9u_{n} +52-520
vn+1=0,9un−468v_{n+1} =0,9u_{n} -468
vn+1=0,9un−468v_{n+1} ={\color{blue}0,9}u_{n} -468 . Nous allons factoriser l'expression par 0,9{\color{blue}0,9} .
vn+1=0,9(un−4680,9)v_{n+1} =0,9\left(u_{n} -\frac{468}{0,9} \right)
vn+1=0,9(un−520)v_{n+1} =0,9\left({\color{red} u_{n} -520}\right) . Or : vn=un−520{\color{red}v_{n} = u_{n} -520}
D'où :
vn+1=0,9vnv_{n+1} =0,9v_{n}

Ainsi la suite (vn)\left(v_{n} \right) est géométrique de raison q=0,9q=0,9 et de premier terme v0=u0−520=620−520v_{0} =u_{0} -520=620-520 donc v0=100v_{0} =100
Question 4

Exprimer vnv_{n} en fonction de nn.

Correction
  • L'expression de vnv_{n} en fonction de nn est donnée par la formule
    vn=v0×qnv_{n} =v_{0} \times q^{n}
Ainsi :
vn=100×0,9nv_{n} =100\times 0,9^{n}
Question 5

En déduire que, pour tout entier naturel nn, un=100×0,9n+520u_{n} =100\times 0,9^{n} +520.

Correction
On sait que : vn=un−520v_{n} =u_{n} -520 donc : vn+520=unv_{n} +520=u_{n}
Il vient alors que :
un=100×0,9n+520u_{n} =100\times 0,9^{n} +520
Question 6
Le quotidien est considéré en difficulté financière lorsque le nombre d’abonnés est inférieur à 540540 milliers.

Recopier et compléter l’algorithme suivant afin d’afficher l’année à partir de laquelle le quotidien sera en difficulté financière.

Correction
Question 7

Résoudre l’inéquation un≤540u_{n}\le540.

Correction
100×0,9n+520≤540100\times 0,9^{n} +520\le 540 équivaut successivement à :
100×0,9n≤540−520100\times 0,9^{n} \le 540-520
100×0,9n≤20100\times 0,9^{n} \le 20
0,9n≤201000,9^{n} \le \frac{20}{100}
0,9n≤0,20,9^{n} \le 0,2
ln⁡(0,9n)≤ln⁡(0,2)\ln \left(0,9^{n} \right)\le \ln \left(0,2\right)
nln⁡(0,9)≤ln⁡(0,2)n\ln \left(0,9\right)\le \ln \left(0,2\right)
n≥ln⁡(0,2)ln⁡(0,9)n\ge \frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,9\right)}
. Ici, on a changé le sens de l'inéquation car ln⁡(0,9)<0\ln\left(0,9\right)<0
Question 8

Déterminer à partir de quelle année le quotidien sera en difficulté financière. Indiquer la démarche.

Correction
Le quotidien est en difficulté financière quand un≤540u_{n}\le540. D'après la question 77, nous avons vu que :
un≤540⇔n≥ln⁡(0,2)ln⁡(0,9)u_{n} \le 540\Leftrightarrow n\ge \frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,9\right)}
D'après la calculatrice ln⁡(0,2)ln⁡(0,9)≈15,3\frac{\ln \left(0,2\right)}{\ln \left(0,9\right)}\approx15,3
Donc c’est au bout de 1616 ans que le quotidien sera en difficulté financière, c’est-à-dire à partir de l’année 2011+16=20272011+16=2027.