Exercices types DS et Bac : $$1$$^ère partie - Exercice 3

La superficie totale des forêts détruites au cours de l’année $$2013$$ représente une proportion de $$\frac{15000000}{4000000000}=0,00375$$
La superficie totale des forêts détruites au cours de l’année $$2013$$ représente bien $$0,375$$% de la superficie totale des forêts mesurée au début de l’année.

S'il y a $$0,375$$% de forêt détruite chaque année, cela signifie que l'on a une baisse de $$0,375$$%. Apparaît donc le coefficient multiplicateur : .
Donc on multiplie la surface de forêt l’année $$n$$ par $$0,99625$$ pour avoir la surface de forêt l’année $$n+1$$. Comme de plus on plante chaque année $$10,2$$ millions d’hectares, on aura, pour tout entier naturel $$n$$ : .

Nous savons que : $$u_{n+1} =0,99625\times u_{n} +10,2$$
L’année $$2014$$ correspond à $$n=1$$ donc la superficie de forêt en début de $$2014$$ est :
$$u_{0+1} =0,99625\times u_{0} +10,2$$ c'est à dire : $$u_{1} =0,99625\times 4000 +10,2$$. Ainsi :.

$$d_{n} =u_{n} -2720$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$d_{n+1} =u_{n+1} -2720$$
On connaît l'expression de $$u_{n+1}$$, on la remplace et on obtient :
$$d_{n+1} =0,99625\times u_{n} +10,2-2720$$
$$d_{n+1} =0,99625\times u_{n}-2709,8$$
$$d_{n+1} ={\color{blue}0,99625}u_{n} -2709,8$$ . Nous allons factoriser l'expression par $${\color{blue}0,99625}$$ .
$$d_{n+1} =0,8\left(u_{n} -\frac{2709,8}{0,99625} \right)$$
$$d_{n+1} =0,8\left({\color{red} u_{n} -2720}\right)$$ . Or : $${\color{red}v_{n} = u_{n} -2720}$$

Ainsi la suite $$\left(d_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=0,99625$$ et de premier terme $$d_{0} =u_{0} -2720=4000-2720$$ donc $$d_{0} =1280$$.

Ainsi :

On sait que : $$d_{n} =u_{n} -2720$$ donc : $$u_{n}=d_{n}+2720$$
Comme $$d_{n} =1280\times 0,99625^{n}$$ . Il en résulte donc que : .

L’année $$2013$$ correspond à $$n=0$$ donc l’année $$2029$$ correspond à $$n=16$$. Voici un algorithme permettant d’afficher la superficie occupée par les forêts pour chaque année de $$2013$$ à $$2019$$ :

Dans un $$1$$^er temps, tant que vous n'avez pas vu la fonction logarithme, il faudra utiliser le tableur de la calculatrice pou répondre à cette question.
Nous allons , ici, corrigé l'exercice en vu de la préparation du Bac qui arrive en Juin, donc avec la fonction logarithme.
La superficie des forêts présentes sur la Terre sera inférieure à $$3,9$$ milliards d’hectares, c’est à-dire $$3900$$ millions d’hectares, pour les valeurs de $$n$$ vérifiant $$u_{n} < 3900$$; on résout cette inéquation :
$$u_{n} < 3900$$ équivaut successivement à :
$$1280\times 0,99625^{n} +2720<3900$$
$$1280\times 0,99625^{n} +2720<3900-2720$$
$$1280\times 0,99625^{n}<1180$$
$$0,99625^{n}< \frac{1180}{1280}$$
$$\ln \left(\left(0,99625\right)^{n} \right)< \ln \left(\frac{1180}{1280}\right)$$
$$n\ln \left(0,99625\right)< \ln \left(\frac{1180}{1280}\right)$$. Or $$\ln \left(\frac{1180}{1280}\right)<0$$
D'où : $$n> \frac{\ln \left(\frac{1180}{1280}\right)}{\ln \left(0,99625\right)}$$.
On cherche la valeur de $$\frac{\ln \left(\frac{1180}{1280}\right)}{\ln \left(0,99625\right)}$$à la calculatrice et on arrondi à l'entier supérieur.
(à la calculatrice on obtient $$\frac{\ln \left(\frac{1180}{1280}\right)}{\ln \left(0,99625\right)} \approx 21,65$$ et on arrondi à l'entier supérieur).
C’est donc à partir de $$2013+22=2035$$ que la superficie de forêt deviendra inférieure à $$3,9$$ milliards d’hectares.