Exercices types DS et Bac : $1$ ^ère partie - Exercice 2

40 min

Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d’information générale et politique, c’est-à-dire le nombre moyen d’exemplaires imprimés par jour. Le tableau suivant donne, entre

2007

2014

, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires :

Question 1

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

Calculer le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre $2007$ et $2008$ .

Correction

Le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre

2007

2008

est :

{T=\frac{valeur\; de \;2008-valeur\; de \;2007}{valeur\; de \;2007}}\times100

Ainsi :

{T=\frac{10596-10982}{10982}}\times100\approx-3,51

Il y a une baisse de

3,51

% entre l'année

2007

2008

Question 2

Pour tout entier naturel

n

, on note

v_{n}

le tirage moyen journalier, en milliers d’exemplaires, de l’année

\left(2007+n\right)

. On modélise la situation en posant :

v_{0}=10982

et, pour tout entier naturel

n

v_{n+1} =0,96\times v_{n} +100

Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$ .

Correction

Pour tout entier naturel

n

, on a :

v_{n+1} =0,96\times v_{n} +100

.
Ainsi :

v_{0+1} =0,96\times v_{0} +100

d'où :

v_{1} =0,96\times 10982 +100

ce qui donne :

v_{1} \approx10642,72

v_{1+1} =0,96\times v_{1} +100

d'où :

v_{2} =0,96\times 10642,72 +100

ce qui donne :

v_{2} \approx10317,01

Question 3

On définit la suite

\left(w_{n} \right)

par

w_{n} =v_{n}-2500

pour tout entier naturel

n

Montrer que la suite $\left(w_{n} \right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $w_{0}$ .

Correction

w_{n} =v_{n} -2500

On va écrire maintenant l'expression au rang

n+1

, il vient alors que :

w_{n+1} =v_{n+1} -2500

On connaît l'expression de

v_{n+1}

, on la remplace et on obtient :

w_{n+1} =0,96\times v_{n} +100-2500

w_{n+1} =0,96\times v_{n} -2400

w_{n+1} ={\color{blue}0,96}u_{n} -2400

. Nous allons factoriser l'expression par

{\color{blue}0,96}

w_{n+1} =0,96\left(u_{n} -\frac{2400}{0,96} \right)

w_{n+1} =0,96\left({\color{red} u_{n} -2500}\right)

. Or :

{\color{red}v_{n} = u_{n} -2500}

w_{n+1} =0,96w_{n}

Ainsi la suite

\left(w_{n} \right)

est géométrique de raison

q=0,96

et de premier terme

w_{0} =v_{0} -2500=10982-2500

donc

w_{0} =8482

Question 4

Exprimer, pour tout entier naturel $n$ , $w_{n}$ en fonction de $n$ .

Correction

L'expression de $w_{n}$ en fonction de $n$ est donnée par la formule
$w_{n} =w_{0} \times q^{n}$

Ainsi :

w_{n} =8482\times 0,96^{n}

Question 5

En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} =8482\times 0,96^{n} +2500$ .

Correction

On sait que :

w_{n} =v_{n} -2500

donc :

v_{n}=w_{n}+2500

Comme

w_{n} =8482\times 0,96^{n}

. Il en résulte donc que :

v_{n} =8482\times 0,96^{n} +2500

Question 6

Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l’année $2017$ .

Correction

L’année

2007

correspond à

n=0

donc l’année

2017

correspond à

n=10

.
Donc :

v_{10} =8482\times 0,96^{10} +2500\approx8139,11

Le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l’année

2017

est

8139,11

milliers d'exemplaires.

Question 7

Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n} \right)$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

Correction

Si $0<q<1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0$ .
Si $q >1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty$ .

Comme

0<0,96<1

alors :

\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,96\right)^{n} =0

\lim\limits_{n\to +\infty } \left(8482\right)\times \left(0,96\right)^{n} =0

\lim\limits_{n\to +\infty } \left(8482\right)\times \left(0,85\right)^{n} +2500=2500

Ainsi :

\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =2500

.
On en déduit que la suite

\left(v_{n} \right)

a pour limite

2500

ce qui veut dire que le nombre d’exemplaires vendus va tendre vers

2500

milliers.

Question 8

L’algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de $2007$ jusqu’à l’année $\left(2007+n\right)$ , pour un nombre d’années $n$ saisi par l’utilisateur.

Correction

L'algorithme suivant peut répondre à la question demandée.

VARIABLES

V

est un réel

n

k

sont des entiers
INITIALISATION
Saisir la valeur de

n

V

prend la valeur

10982

TRAITEMENT
Pour

k

variant de

1

n

V

prend la valeur

0,96V+100

Afficher

V

Fin Pour

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Exercices types DS et Bac : 111ère partie - Exercice 2

Calculer le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre 200720072007 et 200820082008.

Calculer v1v_{1}v1​ et v2v_{2}v2​.

Montrer que la suite (wn)\left(w_{n} \right) (wn​) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme w0w_{0}w0​.

Exprimer, pour tout entier naturel nnn, wnw_{n} wn​ en fonction de nnn.

En déduire que pour tout entier naturel nnn, vn=8482×0,96n+2500v_{n} =8482\times 0,96^{n} +2500vn​=8482×0,96n+2500.

Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l’année 201720172017.

Déterminer la limite de la suite (vn)\left(v_{n} \right) (vn​). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

L’algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de 200720072007 jusqu’à l’année (2007+n)\left(2007+n\right)(2007+n), pour un nombre d’années nnn saisi par l’utilisateur.

Exercices types DS et Bac : $1$ ^ère partie - Exercice 2

Calculer le taux d’évolution du tirage moyen journalier entre $2007$ et $2008$ .

Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$ .

Montrer que la suite $\left(w_{n} \right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $w_{0}$ .

Exprimer, pour tout entier naturel $n$ , $w_{n}$ en fonction de $n$ .

En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $v_{n} =8482\times 0,96^{n} +2500$ .

Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l’année $2017$ .

Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n} \right)$ . Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

L’algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de $2007$ jusqu’à l’année $\left(2007+n\right)$ , pour un nombre d’années $n$ saisi par l’utilisateur.