Exercice 6 - Exercice 1

D'une part,
$$u_{1} =0,8u_{0} +45~$$
$$u_{1} =0,8\times 150+45$$

D'autre part,
$$u_{2} =0,8u_{1} +45$$
$$u_{2} =0,8\times 165+45$$

Dans l'algorithme $$1$$, la condition pour entrer dans la boucle est « Tant que $$U\ge 220$$ » ; la valeur de $$U$$ est initialisée à $$150$$ qui est inférieur à $$220$$ donc on n'entre jamais dans la boucle « Tant que ».
Le bon algorithme est le $$2$$.

On calcule les premiers termes de la suite $$(u_{n} )$$ à la calculatrice et on trouve :
$$u_{12} \approx 219,8$$ et $$u_{13} \approx 220,9$$ donc l'algorithme $$2$$ affiche pour valeur de $$n=13$$.

$$v_{n} =u_{n} -225$$
$$v_{n+1} =u_{n+1} -225$$
$$v_{n+1} =0,8u_{n} +45-225$$
Or $$v_{n} =u_{n} -225$$ donc $$v_{n} +225=u_{n}$$
$$v_{n+1} =0,8\left(v_{n} +225\right)-180$$
$$v_{n+1} =0,8v_{n} +0,8\times 225-180$$
$$v_{n+1} =0,8v_{n} +180-180$$

Donc la suite $$(v_{n} )$$ est géométrique de raison $$q=0,8$$ et de premier terme $$v_{0} =-75$$ car $$v_{0} =u_{0} -225=150-225=-75$$.

Exprimons tout d'abord $$v_{n}$$ en fonction de $$n$$.
Ainsi $$v_{n} =v_{0} \times q^{n}$$ d'où $$v_{n} =-75\times 0,8^{n}$$.
Puis maintenant exprimons $$u_{n}$$ en fonction de $$n$$.
Comme $$v_{n} =u_{n} -225$$ donc $$v_{n} +225=u_{n}$$.
Ainsi :

D'une année $$n$$ à une année $$n+1$$, $$20\%$$ des participants ne reviennent pas donc $$80\%$$ reviennent et de plus, 45 nouveaux participants s'inscrivent chaque année ; on multipliera donc le nombre de participants de l'année $$n$$ par $$0,8$$ et on ajoutera $$45$$ pour obtenir le nombre de participants de l'année $$n+1$$.
Le nombre de participants l'année $$2015$$ est de $$150$$ donc le nombre de participants peut être modélisé par la suite ($$u_{n}$$) précédemment définie où un représente le nombre de participants l'année$$2015+n$$.
Pour l'année $$2015+n$$, le nombre de participants est donc $$u_{n} =225-75\times 0,8^{n}$$.
Pour tout $$n$$, $$225-75\times 0,8^{n} <225$$ donc le nombre de $$250$$ participants ne sera jamais atteint ; il n'y aura donc pas lieu de refuser des inscriptions dans les années à venir.