Exercice 4 - Exercice 1

D'une année à la suivante le nombre d'habitants est multiplié par $$1,05$$ puis augmenté de $$4000$$.
Donc :
$$u_{1} =u_{0} \times 1,05+4000$$
$$u_{1} =100000\times 1,05+4000$$

$$u_{2} =u_{1} \times 1,05+4000$$
$$u_{2} =109000\times 1,05+4000$$

Soit $$u_{n}$$ le nombre d'habitants de cette ville au $$1$$^er janvier de l'année $$2005+n$$ et $$u_{n+1}$$ le nombre d'habitants de cette ville au $$1$$^er janvier de l'année suivante.
Chaque année , il y a une augmentation de $$5\%$$ qui traduit un coefficient multiplicateur $$1+\frac{5}{100} =1,05$$ auquel on rajoute $$4000$$ personnes suite au flux migratoire.
On peut donc affirmer que pour tout entier naturel $$n$$,

$$v_{0} =u_{0} +80000$$
$$v_{0} =100000+80000$$

$$v_{n} =u_{n} +80000$$ On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} +80000$$
On connait l'expression de $$U_{n+1}$$, on la remplace et on obtient :
$$v_{n+1} =1,05u_{n} +4000+80000$$
$$v_{n+1} =1,05u_{n} +84000$$
Or $$v_{n} =u_{n} +80000$$ donc $$v_{n} -80000=u_{n}$$
$$v_{n+1} =1,05\left(v_{n} -80000\right)+84000$$
$$v_{n+1} =1,05v_{n} -80000\times 1,05+84000$$
$$v_{n+1} =1,05v_{n} -84000+84000$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=1,05$$ et de premier terme $$v_{0} =180000$$

L'expression de $$v_{n}$$ en fonction de $$n$$ est donnée par la formule $$v_{n} =v_{0} \times q^{n}$$
Ainsi :

On sait que : $$v_{n} =u_{n} +80000$$ donc $$v_{n} -80000=u_{n}$$
Il vient alors que :

Comme $$1,05>1$$ alors :
$$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(1,05\right)^{n} =+\infty$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 180000\times \left(1,05\right)^{n} =+\infty$$
$$\lim\limits_{n\to +\infty } 180000\times \left(1,05\right)^{n} -80000=+\infty$$
Ainsi :

$$2020$$ correspond au rang $$n=15$$, d'où :

Le nombre d'habitants de la ville au $$1$$^er janvier $$2020$$ est de $$294207$$.

$$180000\times 1,05^{n} -80000\ge 200000$$
$$180000\times 1,05^{n} \ge 280000$$
$$1,05^{n} \ge \frac{280000}{180000}$$
$$1,05^{n} \ge \frac{14}{9}$$
$$\ln \left(1,05^{n} \right)\ge \ln \left(\frac{14}{9} \right)$$
$$n\ln \left(1,05\right)\ge \ln \left(\frac{14}{9} \right)$$
$$n\ge \frac{\ln \frac{14}{9} }{\ln 1,05}$$
Or
Il faut attendre la $$10$$^ème année soit en $$2015$$.