Exercice 3 - Exercice 1

La bonne réponse est bIl s'agit de la somme des termes d'une suite géométrique de raison $$q=\frac{1}{3}$$
Il vient alors :
$$S=1+\frac{1}{3} +\left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\left(\frac{1}{3} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{1}{3} \right)^{2017}$$
$$S=\left(\frac{1}{3} \right)^{0}+\left(\frac{1}{3} \right)^{1} +\left(\frac{1}{3} \right)^{2} +\left(\frac{1}{3} \right)^{3} +\ldots +\left(\frac{1}{3} \right)^{2017}$$ car $$\left(\frac{1}{3} \right)^{0}=1$$
Nous partons de $$\left(\frac{1}{3} \right)^{0}$$ qui est le premier terme à $$\left(\frac{1}{3} \right)^{2017}$$ . Nous avons donc $$2018$$ termes.
On applique la formule :
$$S=1\times \frac{\left({\text 1}-\left(\frac{1}{3} \right)^{2018} \right)}{\frac{1}{3} }$$

La bonne réponse est a.
$$u_{n+1} -u_{n} =-0,3u_{n}$$ équivaut successivement à
$$u_{n+1} =-0,3u_{n} +u_{n}$$

Il s'agit donc d'une suite géométrique de raison $$0,7$$

La bonne réponse est a.
$$u_{n} =3^{n} +\frac{1}{3^{n} }$$ que l'on peut écrire $$u_{n} =3^{n} +\left(\frac{1}{3} \right)^{n}$$.

• Comme $$0\le \frac{1}{3} <1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } \left(\frac{1}{3} \right)^{n} =0$$
• De plus, $$3>1$$ alors : $$\lim\limits_{n\to +\infty } 3^{n} =+\infty$$

Finalement :

La bonne réponse est b.
D'après l'énoncé, la suite arithmétique s'écrit $$u_{n+1} =u_{n} +4$$ avec comme premier terme $$u_{0} =2$$.
Il suffit de calculer les termes $$u_{1}$$, $$u_{2}$$ et ainsi de suite jusqu'au moment où la valeur $$u_{n}$$ dépassera $$50$$.
On indiquera ensuite le rang $$u_{n}$$ tel que $$u_{n} \ge 50$$.
Donc l'algorithme calcule le plus petit entier $$n$$ tel que $$u_{n} \ge 50$$.

La bonne réponse est c.
On calcule pour chaque $$i$$, la valeur de $$u$$ associée.
On dresse le tableau suivant :

La bonne réponse est b
On note $$u_{1} =500$$ le montant sur le livret la $$1$$ère année.
Chaque année, il y a une augmentation de $$5\%$$ qui correspond à un coefficient multiplicateur noté $$q=1+\frac{5}{100} =1,05$$.
Cet investissement traduit une suite géométrique de raison $$q=1,05$$ et de premier terme $$u_{1} =500$$.
On exprime alors $$u_{n}$$ en fonction de $$n$$.
Ainsi $$u_{n} =u_{1} \times q^{n-1}$$.
Autrement dit $$u_{n} =500\times 1,05^{n-1}$$.
Le montant sur le livret dans $$10$$ ans correspond à $$u_{10}$$.
Finalement,
$$u_{10} =500\times 1,05^{10-1}$$
$$u_{10} =500\times 1,05^{10-1}$$
(arrondi à l'entier supérieur)

La bonne réponse est b.

• une baisse de $$30\%$$ correspond à un coefficient multiplicateur qui vaut $$1-\frac{30}{100} =0,7$$
• une hausse de $$30\%$$ correspond à un coefficient multiplicateur qui vaut $$1+\frac{30}{100} =1,3$$

Il faut multiplier les coefficients multiplicateurs.
Ainsi $$0,7\times 1,3=0,91$$.
Finalement, une baisse de $$30\%$$ suivi d'une hausse de $$30\%$$ équivaut à une diminution de $$9\%$$.

La bonne réponse est b.
Une hausse de $$25\%$$ correspond à un coefficient multiplicateur qui vaut $$t=1+\frac{25}{100} =1,25$$.
Notons $$t'$$ le taux réciproque associée à une hausse de $$25\%$$.
Ainsi
$$1,25\times t'=1$$
$$t'=\frac{1}{1,25}$$

Pour compenser une hausse de $$25\%$$, il faut appliquer une baisse de $$20\%$$.

La bonne réponse est b.
On sait qu'il s'agit d'une suite arithmétique de premier terme $$u_{0} =2$$ et de raison $$r=4$$.
On exprime alors $$u_{n}$$ en fonction de $$n$$.
Ainsi $$u_{n} =u_{0} +n\times r$$.
Autrement dit $$u_{n} =2+4n$$.
On calcule maintenant $$u_{11} =2+4\times 11=46$$
On applique la formule :
$$S=u_{0} +u_{1} +\ldots +u_{11}$$
$$S=\left(\text{nombres de termes}\right)\times \left(\frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\right)$$
$$S={\text 1}2\times \frac{\left(u_{0} +u_{11} \right)}{2}$$ .
On a $$12$$ termes en tout car on part de $$u_{0}$$ et on va jusqu'à $$u_{11}$$.
$$S={\text 1}2\times \frac{\left(2+46\right)}{2}$$

La bonne réponse est c.
On a $$u_{n+1} -3u_{n} =4$$ donc $$u_{n+1} =4+3u_{n}$$
Or
$$v_{n} =u_{n} +2$$
On va écrire maintenant l'expression au rang $$n+1$$ , il vient alors que :
$$v_{n+1} =u_{n+1} +2$$
On connait l'expression de $$u_{n+1}$$, on la remplace et on obtient :
$$v_{n+1} =4+3u_{n} +2$$
$$v_{n+1} =3u_{n} +6$$
$$v_{n+1} =3\left(v_{n} -2\right)+6$$.
Or $$v_{n} =u_{n} +2$$ donc $$v_{n} -2=u_{n}$$
$$v_{n+1} =3v_{n} -6+6$$

Ainsi la suite $$\left(v_{n} \right)$$ est géométrique de raison $$q=3$$.

La bonne réponse est a.
Nous appliquons l'algorithme, il vient alors que :
$$9+0,75\times9+0,75^{2}\times9+0,75^{3}\times9\approx24,6$$