Exercice 2 - Les suites numériques - TES

Question 1

Partie A
On considère la suite

(u_{n} )

définie par

u_{0} =10

et pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1} =0,9u_{n} +1,2

On considère la suite $(v_{n} )$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} =u_{n} -12$ .
Démontrer que la suite $(v_{n} )$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Correction

v_{n} =u_{n} -12

On va écrire maintenant l'expression au rang

n+1

, il vient alors que :

v_{n+1} =u_{n+1} -12

On connait l'expression de

u_{n+1}

, on la remplace et on obtient :

v_{n+1} =0,9u_{n} +1,2-12

v_{n+1} =0,9u_{n} -10,8

Or

v_{n} =u_{n} -12

donc

v_{n} +12=u_{n}

v_{n+1} =0,9\left(v_{n} +12\right)-10,8

v_{n+1} =0,9v_{n} +0,9\times 12-10,8

v_{n+1} =0,9v_{n} +10,8-10,8

v_{n+1} =0,9v_{n}

Ainsi la suite

\left(v_{n} \right)

est géométrique de raison

q=0,9

et de premier terme

v_{0} =u_{0} -12=10-12

donc

v_{0} =-2

Question 2

Exprimez $v_{n}$ en fonction de $n$ .

Correction

L'expression de

v_{n}

en fonction de

n

est donnée par la formule

v_{n} =v_{0} \times q^{n}

Ainsi :

v_{n} =-2\times 0,9^{n}

Question 3

En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} =12-2\times 0,9^{n} .$

Correction

On sait que :

v_{n} =u_{n} -12

donc

v_{n} +12=u_{n}

Il vient alors que :

u_{n} =-2\times 0,9^{n} +12

Question 4

Déterminer la limite de la suite $v_{n}$ et en déduire celle de la suite $(u_{n} )$ .

Correction

Si $0<q<1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0$ .
Si $q >1$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty$ .

Comme

0\le 0,9\le 1

alors :

\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,9\right)^{n} =0

\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-2\right)\times \left(0,9\right)^{n} =0

Donc :

\lim\limits_{n\to +\infty } v_{n} =0

De plus :

\lim\limits_{n\to +\infty } \left(-2\right)\times \left(0,9\right)^{n} +12=12

Ainsi :

\lim\limits_{n\to +\infty } u_{n} =12

Question 5

Partie B
En

2012

, la ville de Bellecité compte

10

milliers d'habitants. Les études démographiques sur les dernières années ont montré que chaque année :

$10\%$ des habitants de la ville meurent ou déménagent dans une autre ville.
$1 200$ personnes naissent ou emménagent dans cette ville.

Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $(u_{n} )$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année $2012+n$ .

Correction

La diminution de

10\%

de la population de la ville peut se traduire par le coefficient multiplicateur

1-\frac{10}{100} =0,9

soit

0,9u_{n}

auquel il faut ajouter les

1200

nouveaux habitants soit

1,2

milliers.
On obtient donc :

u_{n+1} =0,9u_{n} +1,2

Question 6

Un institut statistique décide d'utiliser un algorithme pour prévoir la population de Bellecité dans les années à venir.
Compléter l'algorithme suivant pour qu'il calcule la population de la ville de Bellecité l'année $2012+n$ .
VARIABLES
$a,i,n.$
INITIALISATION
Choisir $n$
$a$ prend la valeur $10$ .
TRAITEMENT
Pour $i$ allant de $1$ à $n$ ,
$a$ prend la valeur ...
SORTIE
Afficher $a$

Correction

VARIABLES

a,i,n.

INITIALISATION
Choisir

n

a

prend la valeur

10

.
TRAITEMENT
Pour

i

allant de

1

à

n

,

a

prend la valeur

0,9a+1,2

SORTIE
Afficher

a

Question 7

Résoudre l'inéquation $12-2\times 0,9^{n} >11,5$ .

Correction

12-2\times 0,9^{n} >11,5

équivaut successivement à :

-2\times 0,9^{n} >11,5-12

-2\times 0,9^{n} >-0,5

0,9^{n} <\frac{-0,5}{-2}

0,9^{n} <\frac{1}{4}

\ln \left(0,9^{n} \right)<\ln \left(\frac{1}{4} \right)

n\times \ln \left(0,9\right)<\ln \left(\frac{1}{4} \right)

n>\frac{\ln \left(\frac{1}{4} \right)}{\ln \left(0,9\right)}

on a changé le sens de l'inéquation car

\ln \left(0,9\right)<0

n>13,15

On arrondi à l'entier supérieur, donc :

n\ge 14

Question 8

En donner une interprétation.

Correction

La population de Bellecité sera supérieure à

11,5

milliers d'habitants à partir de l'année

2012+14

soit

2026

.

Exercice 2 - Exercice 1

On considère la suite (vn)(v_{n} )(vn​) définie pour tout entier naturel nnn par vn=un−12v_{n} =u_{n} -12vn​=un​−12.Démontrer que la suite (vn)(v_{n} )(vn​) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Exprimez vnv_{n} vn​ en fonction de nnn.

En déduire que pour tout entier naturel nnn, un=12−2×0,9n.u_{n} =12-2\times 0,9^{n} .un​=12−2×0,9n.

Déterminer la limite de la suite vnv_{n} vn​ et en déduire celle de la suite (un)(u_{n} )(un​).

Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un)(u_{n} )(un​) où unu_{n} un​ désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année 2012+n2012+n2012+n.

Résoudre l'inéquation 12−2×0,9n>11,512-2\times 0,9^{n} >11,512−2×0,9n>11,5.

En donner une interprétation.

On considère la suite $(v_{n} )$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} =u_{n} -12$ .
Démontrer que la suite $(v_{n} )$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

Exprimez $v_{n}$ en fonction de $n$ .

En déduire que pour tout entier naturel $n$ , $u_{n} =12-2\times 0,9^{n} .$

Déterminer la limite de la suite $v_{n}$ et en déduire celle de la suite $(u_{n} )$ .

Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite $(u_{n} )$ où $u_{n}$ désigne le nombre de milliers d'habitants de la ville de Bellecité l'année $2012+n$ .

Résoudre l'inéquation $12-2\times 0,9^{n} >11,5$ .