Les suites numériques

Exercice 1 - Exercice 1

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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
Question 1
En 20122012, la ville comptait 4000040000 habitants.
On note UnU_{n} le nombre d'habitants de la ville en l'année 2012+n2012+n
On a donc U0=40000U_{0} =40000.
On admet que la suite UnU_{n} est définie pour tout entier naturel nn par Un+1=0,875×Un+1200U_{n+1} =0,875\times U_{n} +1200
On considère la suite VnV_{n} définie pour tout entier naturel nn par Vn=Un−9600V_{n} =U_{n} -9600.

La valeur de U1U_{1} est :
  • 62006200
  • 3500035000
  • 3620036200
  • 4620046200

Correction
La bonne réponse est c.
Comme Un+1=0,875×Un+1200U_{n+1} =0,875\times U_{n} +1200 alors :
U0+1=0,875×U0+1200U_{0+1} =0,875\times U_{0} +1200
U1=0,875×40000+1200U_{1} =0,875\times 40000+1200
U1=36200U_{1} =36200
Question 2

La suite VnV_{n} est :
  • géométrique de raison −12,5%-12,5\%
  • géométrique de raison −0,875-0,875
  • géométrique de raison 0,8750,875
  • arithmétique de raison −9600-9600

Correction
La bonne réponse est c.
Vn=Un−9600V_{n} =U_{n} -9600
On va écrire maintenant l'expression au rang n+1n+1 , il vient alors que :
Vn+1=Un+1−9600V_{n+1} =U_{n+1} -9600
On connait l'expression de Un+1U_{n+1} , on la remplace et on obtient :
Vn+1=0,875×Un+1200−9600V_{n+1} =0,875\times U_{n} +1200-9600
Vn+1=0,875×Un−8400V_{n+1} =0,875\times U_{n} -8400
Or Vn=Un−9600V_{n} =U_{n} -9600 donc Vn+9600=UnV_{n} +9600=U_{n}
Vn+1=0,875×(Vn+9600)−8400V_{n+1} =0,875\times \left(V_{n} +9600\right)-8400
Vn+1=0,875×Vn+0,875×9600−8400V_{n+1} =0,875\times V_{n} +0,875\times 9600-8400
Vn+1=0,875×Vn+8400−8400V_{n+1} =0,875\times V_{n} +8400-8400
Vn+1=0,875×VnV_{n+1} =0,875\times V_{n}

Ainsi la suite (Vn)\left(V_{n} \right) est géométrique de raison q=0,875q=0,875 et de premier terme V0=U0−9600V_{0} =U_{0} -9600 donc V0=30400V_{0} =30400
Question 3

La suite UnU_{n} a pour limite :
  • +∞+\infty
  • 00
  • 12001200
  • 96009600

Correction
La bonne réponse est d.
D'une part, l'expression de VnV_{n} en fonction de nn est donnée par la formule Vn=V0×qnV_{n} =V_{0} \times q^{n}
Ainsi : Vn=30400×(0,875)nV_{n} =30400\times \left(0,875\right)^{n}
Or Vn=Un−9600V_{n} =U_{n} -9600 donc Vn+9600=UnV_{n} +9600=U_{n}
Donc l'expression de UnU_{n} en fonction de nn est Un=30400×(0,875)n+9600U_{n} =30400\times \left(0,875\right)^{n} +9600
On peut donc maintenant calculer la limite de UnU_{n}
  • Si 0<q<10<q<1 alors lim⁡n→+∞qn=0\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =0.
  • Si q>1 q >1 alors lim⁡n→+∞qn=+∞\lim\limits_{n\to +\infty } q^{n} =+\infty.
Comme 0≤0,875≤10\le 0,875\le 1 alors :
lim⁡n→+∞(0,875)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } \left(0,875\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞30400×(0,875)n=0\lim\limits_{n\to +\infty } 30400\times \left(0,875\right)^{n} =0
lim⁡n→+∞30400×(0,875)n+9600=9600\lim\limits_{n\to +\infty } 30400\times \left(0,875\right)^{n} +9600=9600
Ainsi :
lim⁡n→+∞Un=9600\lim\limits_{n\to +\infty } U_{n} =9600
Question 4
On considère l'algorithme suivant :
VARIABLES
UU, NN
INITIALISATION
UU prend la valeur 4000040000
NN prend la valeur 00
TRAITEMENT
Tant que U>10000U > 10000
    N prend la valeur N+1N+1
    U prend la valeur 0,8750,875
Fin du Tant que
SORTIE
Afficher NN

Cet algorithme permet d'obtenir :
  • la valeur de U40000U_{40000}
  • toutes les valeurs de U0U_{0} à UNU_{N}
  • le plus petit rang nn pour lequel on à Un≤10000U_{n} \le 10000
  • le nombres de termes inférieurs à 12001200

Correction
La bonne réponse est c.
En effet, l'algorithme fonctionne tant que la valeur UU est strictement supérieur à 1000010000. Il arrêtera donc de fonctionner pour les valeurs de UU inférieur ou égale à 1000010000.
Question 5

La valeur affichée est :
  • 3333
  • 3434
  • 96009600
  • 9970,89970,8

Correction
La bonne réponse est d.
Comme Un=30400×(0,875)n+9600U_{n} =30400\times \left(0,875\right)^{n} +9600 alors :
U32=30400×0,87532+9600≈10024>10000U_{32} =30400\times 0,875^{32} +9600\approx 10024>10000
U33=30400×0,87533+9600≈9971<10000U_{33} =30400\times 0,875^{33} +9600\approx 9971<10000
Donc la valeur affichée est la valeur de NN égale à 3333.