Etudier la variation (ou la monotonie ) de chacune des suites suivantes. (Vu en terminale)
un=2×(45)n−6
Correction
On sait que : un=2×(45)n−6 donc un+1=2×(45)n+1−6 Il vient alors que : un+1−un=2×(45)n+1−6−(2×(45)n−6) un+1−un=2×(45)n+1−6−2×(45)n+6 un+1−un=2×(45)n+1−2×(45)n. On rappelle que (45)n+1=(45)n×45, ce qui donne : un+1−un=2×(45)n×45−2×(45)n. On factorise par (45)n, on a : un+1−un=(45)n×[2×45−2] un+1−un=(45)n×21 Or 21>0 et (45)n>0 donc (45)n×21>0. Finalement :
un+1−un>0
La suite (un) est donc croissante.
Question 2
un=30×(0,8)n+7
Correction
On sait que : un=30×(0,8)n+7 donc un+1=30×(0,8)n+1+7 Il vient alors que : un+1−un=30×(0,8)n+1+7−(30×(0,8)n+7) un+1−un=30×(0,8)n+1+7−30×(0,8)n−7 un+1−un=30×(0,8)n+1−30×(0,8)n. On rappelle que (0,8)n+1=(0,8)n×0,8, ce qui donne : un+1−un=30×(0,8)n×0,8−30×(0,8)n. On factorise par (0,8)n, on a : un+1−un=(0,8)n×[30×0,8−30] un+1−un=(0,8)n×(−6) Or (−6)<0 et (0,8)n>0 donc (0,8)n×(−6)<0. Finalement :