Etudier les variations d'une suite - Exercice 2

15 min
20
Etudier les variations d'une suite géométrique.
Dans cette exercice, nous allons vous présenter une méthode rapide pour traiter les variations d'une suite géométrique. Cette méthode ne fonctionne que pour les suites géométriques!
Question 1
Etudier la variation (ou la monotonie ) de chacune des suites géométriques suivantes.

un=4×(12)nu_{n} =4\times \left(\frac{1}{2} \right)^{n}

Correction
Pour étudier les variations d'une suite géométrique (un)(u_{n}) tel que : un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n} , on peut appliquer le théorème suivant :
  • Si u0>0u_{0}>0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0>0u_{0}>0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    • Ici, nous reconnaissons une suite géométrique de premier terme u0=4u_{0}=4 et de raison q=12q=\frac{1}{2}.
    Comme u0=4>0u_{0}=4>0 et de raison 0<12<10<\frac{1}{2}<1 : la suite (un)(u_{n}) est alors décroissante.
    Question 2

    un=2×(53)nu_{n} =2\times \left(\frac{5}{3} \right)^{n}

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite géométrique (un)(u_{n}) tel que : un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n} , on peut appliquer le théorème suivant :
  • Si u0>0u_{0}>0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0>0u_{0}>0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    • Ici, nous reconnaissons une suite géométrique de premier terme u0=2u_{0}=2 et de raison q=53q=\frac{5}{3}.
    Comme u0=2>0u_{0}=2>0 et de raison 53>1\frac{5}{3}>1 : la suite (un)(u_{n}) est alors croissante.
    Question 3

    un=−6×(17)nu_{n} =-6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{n}

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite géométrique (un)(u_{n}) tel que : un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n} , on peut appliquer le théorème suivant :
  • Si u0>0u_{0}>0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0>0u_{0}>0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    • Ici, nous reconnaissons une suite géométrique de premier terme u0=−6u_{0}=-6 et de raison q=17q=\frac{1}{7}.
    Comme u0=−6<0u_{0}=-6<0 et de raison 0<17<10<\frac{1}{7}<1 : la suite (un)(u_{n}) est alors croissante.
    Question 4

    un=−(3)nu_{n} =-\left(3 \right)^{n}

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite géométrique (un)(u_{n}) tel que : un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n} , on peut appliquer le théorème suivant :
  • Si u0>0u_{0}>0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0>0u_{0}>0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    • Ici, nous reconnaissons une suite géométrique de premier terme u0=−1u_{0}=-1 et de raison q=3q=3.
    Comme u0=−1<0u_{0}=-1<0 et de raison 3>13>1 : la suite (un)(u_{n}) est alors décroissante.

    Signaler une erreur

    Aide-nous à améliorer nos contenus en signalant les erreurs ou problèmes que tu penses avoir trouvés.

    Connecte-toi ou crée un compte pour signaler une erreur.