Les suites numériques

Etudier les variations d'une suite - Exercice 2

15 min
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Etudier les variations d'une suite géométrique.
Dans cette exercice, nous allons vous présenter une méthode rapide pour traiter les variations d'une suite géométrique. Cette méthode ne fonctionne que pour les suites géométriques!
Question 1
Etudier la variation (ou la monotonie ) de chacune des suites géométriques suivantes.

un=4×(12)nu_{n} =4\times \left(\frac{1}{2} \right)^{n}

Correction
Pour étudier les variations d'une suite géométrique (un)(u_{n}) tel que : un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n} , on peut appliquer le théorème suivant :
  • Si u0>0u_{0}>0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0>0u_{0}>0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    • Ici, nous reconnaissons une suite géométrique de premier terme u0=4u_{0}=4 et de raison q=12q=\frac{1}{2}.
    Comme u0=4>0u_{0}=4>0 et de raison 0<12<10<\frac{1}{2}<1 : la suite (un)(u_{n}) est alors décroissante.
    Question 2

    un=2×(53)nu_{n} =2\times \left(\frac{5}{3} \right)^{n}

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite géométrique (un)(u_{n}) tel que : un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n} , on peut appliquer le théorème suivant :
  • Si u0>0u_{0}>0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0>0u_{0}>0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    • Ici, nous reconnaissons une suite géométrique de premier terme u0=2u_{0}=2 et de raison q=53q=\frac{5}{3}.
    Comme u0=2>0u_{0}=2>0 et de raison 53>1\frac{5}{3}>1 : la suite (un)(u_{n}) est alors croissante.
    Question 3

    un=−6×(17)nu_{n} =-6\times \left(\frac{1}{7} \right)^{n}

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite géométrique (un)(u_{n}) tel que : un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n} , on peut appliquer le théorème suivant :
  • Si u0>0u_{0}>0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0>0u_{0}>0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    • Ici, nous reconnaissons une suite géométrique de premier terme u0=−6u_{0}=-6 et de raison q=17q=\frac{1}{7}.
    Comme u0=−6<0u_{0}=-6<0 et de raison 0<17<10<\frac{1}{7}<1 : la suite (un)(u_{n}) est alors croissante.
    Question 4

    un=−(3)nu_{n} =-\left(3 \right)^{n}

    Correction
    Pour étudier les variations d'une suite géométrique (un)(u_{n}) tel que : un=u0×qnu_{n} =u_{0} \times q^{n} , on peut appliquer le théorème suivant :
  • Si u0>0u_{0}>0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et q>1q>1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
  • Si u0<0u_{0}<0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est croissante.
  • Si u0>0u_{0}>0 et 0<q<10<q<1 : la suite (un)(u_{n}) est décroissante.
    • Ici, nous reconnaissons une suite géométrique de premier terme u0=−1u_{0}=-1 et de raison q=3q=3.
    Comme u0=−1<0u_{0}=-1<0 et de raison 3>13>1 : la suite (un)(u_{n}) est alors décroissante.