Loi uniforme - Exercice 5

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Un étudiant utilise un célèbre site de covoiturage pour relier Paris vers Versailles.
Le conducteur sélectionné relie ses deux villes en un temps compris entre 3232 et 6565 minutes.
On note XX la durée du trajet.
On suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [32;65]\left[32;65\right].
Question 1

Quelle est la densité de probabilité de XX ?

Correction
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [32;65]\left[32;65\right] est f(x)=165−32=133f\left(x\right)=\frac{1}{65-32} =\frac{1}{33}
Question 2

Calculer la probabilité que le trajet dure moins de 4040 minutes.

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
P(32≤X≤40)=∫3240f(x)dxP\left(32\le X\le 40\right)=\int _{32}^{40}f\left(x\right)dx équivaut successivement à :
P(32≤X≤40)=40−3265−32P\left(32\le X\le 40\right)=\frac{40-32}{65-32}
Ainsi :
P(32≤X≤40)=833P\left(32\le X\le 40\right)=\frac{8}{33}
Question 3

Le départ se fait à 2020h.
L'étudiant souhaite allez au cinéma et il a rendez-vous à 2020h5555 pour le début de la séance.
Quelle est la probabilité qu'il rate le début de la séance ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
P(X≥55)=P(55≤X≤65)P\left(X\ge 55\right)=P\left(55\le X\le 65\right)
Ainsi :
P(55≤X≤65)=∫5565f(x)dxP\left(55\le X\le 65\right)=\int _{55}^{65}f\left(x\right)dx équivaut successivement à :
P(55≤X≤65)=65−5565−32P\left(55\le X\le 65\right)=\frac{65-55}{65-32}
Ainsi :
P(55≤X≤65)=1033P\left(55\le X\le 65\right)=\frac{10}{33}

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