Les lois continues

Loi uniforme - Exercice 4

5 min
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Un match de basket a une durée au plus égal à 22 heures.
On suppose que la durée exacte du match est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0;2]\left[0;2\right].
Question 1

Quelle est la probabilité qu'un match dure entre 11h3030 et 11h4545 ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;2]\left[0;2\right] est f(x)=12−0=12f\left(x\right)=\frac{1}{2-0} =\frac{1}{2}
On ne va pas chercher la probabilité P(1,30≤X≤1,45)P\left(1,30\le X\le 1,45\right), cette écriture ici n'a pas de sens.
On va indiquer 11h3030 et 11h4545 en heures.
Ainsi 11h et 3030 minutes correspond à 1,51,5h et 11h et 4545 minutes correspond à 1,751,75h.
On va donc calculer :
P(1,5≤X≤1,75)=1,75−1,52−0P\left(1,5\le X\le 1,75\right)=\frac{1,75-1,5}{2-0}
Ainsi :
P(1,5≤X≤1,75)=18P\left(1,5\le X\le 1,75\right)=\frac{1}{8}

La probabilité qu'un match dure entre 11h3030 et 11h4545 est de 18\frac{1}{8} .