Dans un guichet à la poste , le temps d'attente X, exprimé en minutes, suit la loi uniforme sur l'intervalle [1;12].
Question 1
Déterminer la fonction de densité de probabilité f de la loi de X.
Correction
La variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [1;12]. Donc la fonction de densité est la fonction constante f définie sur [1;12] par f(x)=12−11=111 La fonction de densité f de la loi uniforme sur l'intervalle [1;12] est définie par f(x)=111
Question 2
Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre quatre et six minutes ?
Correction
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b] alors P(c≤X≤d)=b−ad−c
P(4≤X≤6)=12−16−4
P(4≤X≤6)=112
La probabilité que le temps d'attente soit compris entre quatre et six minutes est de 112.
Question 3
Quelle est la probabilité qu'un client attende plus de neuf minutes ?
Correction
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b] alors P(c≤X≤d)=b−ad−c
P(X≥9)=P(9≤X≤12) P(X≥9)=12−112−9 Ainsi :
P(X≥9)=113
La probabilité qu'un client attende plus de neuf minutes est de 113.
Question 4
Préciser le temps d'attente moyen.
Correction
Si X suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b] alors son espérance mathématique vaut : E(X)=2a+b
Le temps d'attente moyen est l'espérance mathématique de loi uniforme sur[1;12]. Il en résulte que :
E(X)=21+12=6,5
Le temps d'attente moyen est de 6 minutes et 30 secondes.