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Les lois continues
Loi normale centrée réduite
N
(
0
;
1
)
N\left(0;1\right)
N
(
0
;
1
)
- Exercice 2
10 min
20
Une variable aléatoire
X
X
X
suit la loi normale centrée réduite que l'on note
N
(
0
;
1
)
\mathcal{N}\left(0;1\right)
N
(
0
;
1
)
On donne l'information suivante
P
(
X
≤
2
3
)
≈
0
,
748
P\left(X\le \frac{2}{3} \right)\approx 0,748
P
(
X
≤
3
2
)
≈
0
,
748
Sans la calculatrice, déterminer la valeur des probabilités suivantes
Question 1
P
(
X
≥
2
3
)
P\left(X\ge \frac{2}{3} \right)
P
(
X
≥
3
2
)
Correction
P
(
X
≥
2
3
)
=
1
−
P
(
X
≤
2
3
)
P\left(X\ge \frac{2}{3} \right)=1-P\left(X\le \frac{2}{3} \right)
P
(
X
≥
3
2
)
=
1
−
P
(
X
≤
3
2
)
équivaut successivement à
P
(
X
≥
2
3
)
≈
1
−
0
,
748
P\left(X\ge \frac{2}{3} \right)\approx 1-0,748
P
(
X
≥
3
2
)
≈
1
−
0
,
748
P
(
X
≥
2
3
)
≈
0
,
252
P\left(X\ge \frac{2}{3} \right)\approx 0,252
P
(
X
≥
3
2
)
≈
0
,
252
Question 2
P
(
0
≤
X
≤
2
3
)
P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)
P
(
0
≤
X
≤
3
2
)
Correction
D'après le cours, soit
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite
N
(
0
;
1
)
\mathcal{N}\left(0;1\right)
N
(
0
;
1
)
on a :
P
(
X
≤
0
)
=
P
(
X
≥
0
)
=
1
2
P\left(X\le 0\right)=P\left(X\ge 0\right) = \frac{1}{2}
P
(
X
≤
0
)
=
P
(
X
≥
0
)
=
2
1
P
(
0
≤
X
≤
2
3
)
=
P
(
X
≤
2
3
)
−
P
(
X
≥
0
)
P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)=P\left(X\le \frac{2}{3} \right)-P\left(X\ge 0\right)
P
(
0
≤
X
≤
3
2
)
=
P
(
X
≤
3
2
)
−
P
(
X
≥
0
)
équivaut successivement à
P
(
0
≤
X
≤
2
3
)
=
P
(
X
≤
2
3
)
−
1
2
P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)=P\left(X\le \frac{2}{3} \right)-\frac{1}{2}
P
(
0
≤
X
≤
3
2
)
=
P
(
X
≤
3
2
)
−
2
1
P
(
0
≤
X
≤
2
3
)
≈
0
,
748
−
1
2
P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)\approx 0,748-\frac{1}{2}
P
(
0
≤
X
≤
3
2
)
≈
0
,
748
−
2
1
P
(
0
≤
X
≤
2
3
)
≈
0
,
248
P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)\approx 0,248
P
(
0
≤
X
≤
3
2
)
≈
0
,
248
Question 3
P
(
−
2
3
≤
X
≤
0
)
P\left(-\frac{2}{3} \le X\le 0\right)
P
(
−
3
2
≤
X
≤
0
)
Correction
L’espérance
μ
\mu
μ
de la loi normale est un paramètre de position : la courbe représentative de la fonction de densité admet pour axe de symétrie la droite d’équation
x
=
μ
x = \mu
x
=
μ
.
Si
X
X
X
une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite
N
(
μ
;
σ
2
)
\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^{2}\right)
N
(
μ
;
σ
2
)
on a :
P
(
−
a
≤
X
≤
μ
)
=
P
(
μ
≤
X
≤
a
)
P\left(-a \le X\le \mu\right)=P\left(\mu\le X\le a \right)
P
(
−
a
≤
X
≤
μ
)
=
P
(
μ
≤
X
≤
a
)
P
(
−
2
3
≤
X
≤
0
)
=
P
(
0
≤
X
≤
2
3
)
≈
0
,
248
P\left(-\frac{2}{3} \le X\le 0\right)=P\left(0\le X\le \frac{2}{3} \right)\approx 0,248
P
(
−
3
2
≤
X
≤
0
)
=
P
(
0
≤
X
≤
3
2
)
≈
0
,
248
P
(
−
2
3
≤
X
≤
0
)
≈
0
,
248
P\left(-\frac{2}{3} \le X\le 0\right)\approx 0,248
P
(
−
3
2
≤
X
≤
0
)
≈
0
,
248
Question 4
P
(
X
≤
−
2
3
)
P\left(X\le -\frac{2}{3} \right)
P
(
X
≤
−
3
2
)
Correction
P
(
X
≤
−
2
3
)
=
P
(
X
≤
0
)
−
P
(
−
2
3
≤
X
≤
0
)
P\left(X\le -\frac{2}{3} \right)=P\left(X\le 0\right) -P\left(-\frac{2}{3} \le X\le 0\right)
P
(
X
≤
−
3
2
)
=
P
(
X
≤
0
)
−
P
(
−
3
2
≤
X
≤
0
)
équivaut successivement à
P
(
X
≤
−
2
3
)
=
1
2
−
P
(
−
2
3
≤
X
≤
0
)
P\left(X\le -\frac{2}{3} \right)=\frac{1}{2} -P\left(-\frac{2}{3} \le X\le 0\right)
P
(
X
≤
−
3
2
)
=
2
1
−
P
(
−
3
2
≤
X
≤
0
)
P
(
X
≤
−
2
3
)
≈
1
2
−
0
,
248
P\left(X\le -\frac{2}{3} \right)\approx \frac{1}{2} -0,248
P
(
X
≤
−
3
2
)
≈
2
1
−
0
,
248
P
(
X
≤
−
2
3
)
≈
0
,
252
P\left(X\le -\frac{2}{3} \right)\approx 0,252
P
(
X
≤
−
3
2
)
≈
0
,
252