Loi de densité - Exercice 3

$$f$$ étant une fonction de densité sur $$\left[1;2\right]$$, alors on sait que $$f$$ est continue sur $$\left[1;2\right]$$et positive sur $$\left[1;2\right]$$.
Commençons par calculer $$I=\int _{1}^{2}\left(x+2m\right) dx$$.
$$I=\int _{1}^{2}\left(x+2m\right) dx$$ équivaut successivement à :
Soit $$f\left(x\right)=x+2m$$, on note une primitive de $$f$$ la fonction $$F\left(x\right)=\frac{1}{2} x^{2} +2mx$$ .
$$I=F\left(2\right)-F\left(1\right)$$
$$I=\left(\frac{1}{2} \times \left(2\right)^{2} +2m\times \left(2\right)\right)-\left(\frac{1}{2} +2m\right)$$
$$I=\frac{3}{2} +2m$$
Afin que $$f$$ soit une fonction de densité sur $$\left[1;2\right]$$, il faut que : $$\int _{1}^{2}\left(x+2m\right) dx=1$$.
D'où : $$\frac{3}{2} +2m=1$$ ainsi
Il en résulte que : $$f\left(x\right)=x+2\times \frac{-1}{4}$$
Finalement :