Notons
X la variable aléatoire définie sur
[1;3] dont la loi de probabilité a pour densité
f.
On doit vérifier que :
- f est continue sur [1;3]
- f est positive sur [1;3]
- ∫13f(x)dx=1
x↦143x2−143x est une fonction polynomiale et plus précisément une fonction du second degré .
Par définition, une fonction polynomiale est continue sur
R donc en particulier sur
[1;3].
Pour étudier le signe de
x↦143x2−143x, on utilise le discriminant
Δ=1969 ;
x0=0 ;
x1=1Comme
a=143>0, la parabole est tournée vers le haut, on en déduit le tableau de signe de
f sur
R dans un premier temps.
Il vient alors :
Ainsi sur l'intervalle
[1;3],
f est positive.
Enfin :
∫13f(x)dx=∫13(143x2−143x)dx équivaut successivement à :
Soit
f(x)=143x2−143x, on note une primitive de
f la fonction
F(x)=141x3−283x2 .
∫13f(x)dx=F(3)−F(1)∫13f(x)dx=(141×33−283×32)−(141×13−283×12)D'où :
∫13f(x)dx=1.
Il en résulte que la fonction
f définie une loi à densité sur l'intervalle
[1;3]