Loi de densité - Exercice 2

Notons $$X$$ la variable aléatoire définie sur $$\left[1;3\right]$$ dont la loi de probabilité a pour densité $$f$$.
$$x\mapsto \frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x$$ est une fonction polynomiale et plus précisément une fonction du second degré .
Par définition, une fonction polynomiale est continue sur $$\mathbb{R}$$ donc en particulier sur $$\left[1;3\right]$$.
Pour étudier le signe de $$x\mapsto \frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x$$, on utilise le discriminant $$\Delta =\frac{9}{196}$$ ; $$x_{0} =0$$ ; $$x_{1} =1$$
Comme $$a=\frac{3}{14} >0$$, la parabole est tournée vers le haut, on en déduit le tableau de signe de $$f$$ sur $$\mathbb{R}$$ dans un premier temps.
Il vient alors :
Ainsi sur l'intervalle $$\left[1;3\right]$$, $$f$$ est positive.
Enfin :
$$\int _{1}^{3}f\left(x\right)dx =\int _{1}^{3}\left(\frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x\right)dx$$ équivaut successivement à :
Soit $$f\left(x\right)=\frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x$$, on note une primitive de $$f$$ la fonction $$F\left(x\right)=\frac{1}{14} x^{3} -\frac{3}{28} x^{2}$$ .
$$\int _{1}^{3}f\left(x\right)dx =F\left(3\right)-F\left(1\right)$$
$$\int _{1}^{3}f\left(x\right)dx =\left(\frac{1}{14} \times 3^{3} -\frac{3}{28} \times 3^{2} \right)-\left(\frac{1}{14} \times 1^{3} -\frac{3}{28} \times 1^{2} \right)$$
D'où : $$\int _{1}^{3}f\left(x\right)dx =1$$.
Il en résulte que la fonction $$f$$ définie une loi à densité sur l'intervalle $$\left[1;3\right]$$

$$P\left(1\le X\le 2\right)=\int _{1}^{2}f\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à :
$$P\left(1\le X\le 2\right)=\int _{1}^{2}\left(\frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x\right)dx$$
Soit $$f\left(x\right)=\frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x$$, on note une primitive de $$f$$ la fonction $$F\left(x\right)=\frac{1}{14} x^{3} -\frac{3}{28} x^{2}$$ .
$$P\left(1\le X\le 2\right)=F\left(2\right)-F\left(1\right)$$
$$P\left(1\le X\le 2\right)=\left(\frac{1}{14} \times 2^{3} -\frac{3}{28} \times 2^{2} \right)-\left(\frac{1}{14} \times 1^{3} -\frac{3}{28} \times 1^{2} \right)$$

On a $$P\left(X\ge \frac{3}{2} \right)=P\left(\frac{3}{2} \le X\le 3\right)$$ car $$f$$ définie une loi à densité sur l'intervalle $$\left[1,3\right]$$ donc si $$X\ge \frac{3}{2}$$ alors $$\frac{3}{2} \le X\le 3$$.
$$P\left(\frac{3}{2} \le X\le 3\right)=\int _{\frac{3}{2} }^{3}f\left(x\right)dx$$
$$P\left(\frac{3}{2} \le X\le 3\right)=\int _{\frac{3}{2} }^{3}\left(\frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x\right)dx$$
Soit $$f\left(x\right)=\frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x$$, on note une primitive de $$f$$ la fonction $$F\left(x\right)=\frac{1}{14} x^{3} -\frac{3}{28} x^{2}$$ .
$$P\left(\frac{3}{2} \le X\le 3\right)=F\left(3\right)-F\left(\frac{3}{2} \right)$$
$$P\left(\frac{3}{2} \le X\le 3\right)=\left(\frac{1}{14} \times 3^{3} -\frac{3}{28} \times 3^{2} \right)-\left(\frac{1}{14} \times \left(\frac{3}{2} \right)^{3} -\frac{3}{28} \times \left(\frac{3}{2} \right)^{2} \right)$$

On a $$P\left(X\le \frac{5}{3} \right)=P\left(1\le X\le \frac{5}{3} \right)$$ car $$f$$ définie une loi à densité sur l'intervalle $$\left[1,3\right]$$ donc si $$X\le \frac{5}{3}$$ alors $$1\le X\le \frac{5}{3}$$.
$$P\left(1\le X\le \frac{5}{3} \right)=\int _{1}^{\frac{5}{3} }f\left(x\right)dx$$ équivaut successivement à :
$$P\left(1\le X\le \frac{5}{3} \right)=\int _{1}^{\frac{5}{3} }\left(\frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x\right)dx$$
Soit $$f\left(x\right)=\frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x$$, on note une primitive de $$f$$ la fonction $$F\left(x\right)=\frac{1}{14} x^{3} -\frac{3}{28} x^{2}$$ .
$$P\left(1\le X\le \frac{5}{3} \right)=F\left(\frac{5}{3} \right)-F\left(1\right)$$
$$P\left(1\le X\le \frac{5}{3} \right)=\left(\frac{1}{14} \times \left(\frac{5}{3} \right)^{3} -\frac{3}{28} \times \left(\frac{5}{3} \right)^{2} \right)-\left(\frac{1}{14} \times 1^{3} -\frac{3}{28} \times 1^{2} \right)$$

$$E\left(X\right)=\int _{1}^{3}xf\left(x\right)dx$$
D'où : $$E\left(X\right)=\int _{1}^{3}x\times \left(\frac{3}{14} x^{2} -\frac{3}{14} x\right)dx$$
Finalement :
$$E\left(X\right)=\int _{1}^{3}\left(\frac{3}{14} x^{3} -\frac{3}{14} x^{2} \right) dx$$ équivaut successivement à :
Soit $$g\left(x\right)=\frac{3}{14} x^{3} -\frac{3}{14} x^{2}$$, on note une primitive de $$g$$ la fonction $$G\left(x\right)=\frac{3}{56} x^{4} -\frac{1}{14} x^{3}$$ .
$$E\left(X\right)=G\left(3\right)-G\left(1\right)$$
$$E\left(X\right)=\left(\frac{3}{56} \times 3^{4} -\frac{1}{14} \times 3^{3} \right)-\left(\frac{3}{56} \times 1^{4} -\frac{1}{14} \times 1^{3} \right)$$
D'où :