Les lois continues

Exercices types - Exercice 2

15 min
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Question 1
Une machine permet le conditionnement d'une pommade dans des tubes. La quantité de pommade injecté dans un tube par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle XX. On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne μ=250\mu=250 et d’écart-type σ=1,5\sigma = 1,5.

Déterminer P(X≤246)P\left( X\le 246\right).

Correction
Avec une Texas , on tape pour P(X≤246)P\left(X\le 246\right) NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(−1099-10^{99} , 246246 , 250250 , 1.51.5 ) puis taper sur enter et vous obtiendrez
P(X≤246)≈0,004P\left(X\le 246\right)\approx 0,004
à 10−310^{-3} prèsAvec une casio graph 35 + , on tape pour P(X≤246)P\left(X\le 246\right)
Normal C.D
Lower : −1099-10^{99} Valeur Minimale
Upper : 246246 Valeur Maximale
σ\sigma : 250250 Ecart type
μ\mu : 1.51.5 Espérance

puis taper sur EXE et vous obtiendrez
P(X≤246)≈0,004P\left(X\le 246\right)\approx 0,004
à 10−310^{-3} près
Question 2

Déterminer la probabilité que le tube ait un contenu compris entre 249249 et 250250 millilitres.

Correction
Avec une Texas , on tape pour P(249≤X≤250)P\left(249\le X\le 250\right) NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(249249,250250 ,250250, 1.51.5 ) puis taper sur enter et vous obtiendrez
P(249≤X≤250)≈0,247P\left(249\le X\le 250\right)\approx 0,247

Avec une casio graph 35 + , on tape pour P(249≤X≤250)P\left(249\le X\le 250\right)
Normal C.D
Lower : 249249 Valeur Minimale
Upper: 250250 Valeur Maximale
σ\sigma : 1.51.5 Ecart type
μ\mu : 250250 Espérance

puis taper sur EXE et vous obtiendrez
P(249≤X≤250)≈0,247P\left(249\le X\le 250\right)\approx 0,247
Question 3

Comment choisir la valeur de α\alpha afin que P(250−α≤X≤250+α)=0,95P\left(250-\alpha \le X\le 250+\alpha \right)=0,95 soit approximativement égale à 0,950,95 à 10−210^{-2} près.

Correction
Si XX suit une loi normale de paramètre μ\mu et σ\sigma alors :
P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0,683P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)\approx0,683
P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx0,954
P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0,997P\left(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma \right)\approx0,997
On sait que XX est une variable qui suit la loi normale d’espérance μ=250\mu=250 et d’écart-type σ=1,5\sigma=1,5.
On souhaite que P(250−α≤X≤250+α)=0,95P\left(250-\alpha \le X\le 250+\alpha \right)=0,95
Or nous savons que : P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx0,954
Ce qui permet de dire que α=2σ\alpha= 2\sigma. Autrement dit :
α=2×1,5=3\alpha= 2\times1,5=3

Question 4

Soit β\beta un réel. Déterminer β\beta tel que P(X≤β)=0,6P\left(X\le \beta\right)=0,6

Correction
Pour le calcul de P(X≤β)=0,6P\left(X\le \beta\right)=0,6
Avec une Texas, on tape pour P(X≤β)=0,6P\left(X\le \beta\right)=0,6 InvNorm(valeur donné,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici InvNorm( 0,60,6 , 250250 , 1.51.5 ) puis taper sur enter et vous obtiendrez
β≈250,38\beta\approx 250,38

Avec une Casio Graph 35 +, on tape pour P(X≤β)=0,6P\left(X\le \beta\right)=0,6
Normal inverse
Data : Variable
Tail : Left car c'est ≤\le
Area : 0,60,6
σ\sigma : 1.51.5 Ecart type
μ\mu : 250250 Espérance

puis taper sur EXE et vous obtiendrez
β≈250,38\beta\approx 250,38