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Exercices types - Exercice 1

30 min
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D’après le «bilan des examens du permis de conduire» pour l’année 20142014 publiée par le ministère de l’Intérieur en novembre 20152015, 2020 % des personnes qui se sont présentées à l’épreuve pratique du permis de conduire avaient suivi la filière de l’apprentissage anticipé de la conduite (AAC). Parmi ces candidats, 7575 % ont été reçus à l’examen. Pour les candidats n’ayant pas suivi la filière AAC, le taux de réussite à l’examen était seulement de 56,656,6 %. On choisit au hasard l’un des candidats à l’épreuve pratique du permis de conduire en 20142014.
Question 1
On considère les évènements suivants :
  • AA «le candidat a suivi la filière AAC»
  • RR «le candidat a été reçu à l’examen»

    • Donner les probabilités P(A)P\left( A \right) ; PA(R)P_{A} \left(R\right) et PA‾( R)P_{\overline A} \left(\ R\right)

    Correction
    D'après l'énoncé on a :
  • P(A)=0,2P\left( A \right)=0,2
  • PA(R)=0,75P_{A} \left(R\right)=0,75
  • PA‾( R)=0,566P_{\overline A} \left(\ R\right)=0,566
    • Question 2

    Traduire la situation par un arbre pondéré.

    Correction
    D'après l'énoncé, l'arbre pondéré traduisant l'énoncé est donnée ci-dessous :
    Question 3

    Calculer P(A∩R)P\left(A\cap R\right)

    Correction
    On a :
    P(A∩R)=P(A)×PA(R)P\left(A\cap R\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(R\right)
    P(A∩R)=0,2×0,75P\left(A\cap R\right)=0,2\times 0,75
    D'où :
    P(A∩R)=0,15P\left(A\cap R\right)=0,15

    Question 4

    Calculer P(R)P\left( R \right)

    Correction
    Les évènements AA et A‾\overline{A} forment une partition de l'univers.
    D'après la formule des probabilités totales, on a :
    P(R)=P(A∩R)+P(A‾∩R)P\left(R\right)=P\left(A\cap R\right)+P\left(\overline{A}\cap R\right) équivaut successivement à :
    P(R)=P(A)×PA(R)+P(A‾)×PA‾(R)P\left(R\right)=P\left(A\right)\times P_{A} \left(R\right)+P\left(\overline{A}\right)\times P_{\overline{A}} \left(R\right)
    P(R)=0,2×0,75+0,8×0,566P\left(R\right)=0,2\times 0,75+0,8\times 0,566
    P(R)=0,6028P\left(R\right)=0,6028
    Question 5

    Sachant que le candidat a été reçu à l’examen, calculer la probabilité qu’il ait suivi la filière AAC. On donnera une valeur approchée à 10−410^{-4} près de cette probabilité.

    Correction
    Il s'agit d'une probabilité conditionnelle qui s'écrit : PR(A)=P(A∩R)p(R)P_{R} \left(A\right)=\frac{P\left(A\cap R\right)}{p\left(R\right)}
    Ainsi :
    PR(A)=0,150,6028P_{R} \left(A\right)=\frac{0,15}{0,6028}
    PR(A)≈0,2488P_{R} \left(A\right)\approx0,2488

    Question 6
    Un responsable d’auto-école affirme que pour l’année 20162016, la probabilité d’être reçu à l’examen est égale à 0,620,62. Ayant des doutes sur cette affirmation, une association d’automobilistes décide d’interroger 400400 candidats à l’examen parmi ceux de 20162016. Il s’avère que 220220 d’entre eux ont effectivement obtenu le permis de conduire.

    Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 9595 % de la fréquence de candidats reçus dans un échantillon aléatoire de 400400 candidats.

    Correction
    Il faut vérifier les conditions suivantes n≥30n\ge 30 , np≥5np\ge 5 et n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5. Ici p=0,62p=0,62 et n=400n=400.
    • 400≥30400\ge 30 donc n≥30n\ge 30
    • 400×0,62=248400\times 0,62=248 donc np≥5np\ge 5
    • 400×(1−0,62)=152400\times \left(1-0,62\right)=152 donc n(1−p)≥5n\left(1-p\right)\ge 5
    Les trois conditions sont réalisées, on peut donc calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%95\% .
    On a alors :
    I=[p−1,96×p×(1−p)n;p+1,96×p×(1−p)n]I=\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times \left(1-p\right)} }{\sqrt{n} } \right]
    I=[0,62−1,96×0,62×(1−0,62)400;0,62+1,96×0,62×(1−0,62)400]I=\left[0,62-1,96\times \frac{\sqrt{0,62\times \left(1-0,62\right)} }{\sqrt{400} } ;0,62+1,96\times \frac{\sqrt{0,62\times \left(1-0,62\right)} }{\sqrt{400} } \right]
    I=[0,5724;0,6676]I=\left[0,5724;0,6676\right]
    Ici 0,57240,5724 est une valeur approchée par défaut de 0,62−1,96×0,62×(1−0,62)4000,62-1,96\times \frac{\sqrt{0,62\times \left(1-0,62\right)} }{\sqrt{400} }
    Ici 0,66760,6676 est une valeur approchée par excès de 0,62+1,96×0,62×(1−0,62)4000,62+1,96\times \frac{\sqrt{0,62\times \left(1-0,62\right)} }{\sqrt{400} }
    Question 7

    Peut-on émettre des doutes sur l’affirmation du responsable de cette auto-école? Justifier votre réponse.

    Correction
    Calculons la fréquence de réussite dans l'échantillon . Ainsi : fobs=220400=0,55f_{obs}=\frac{220}{400}=0,55
    Or : fobs∉[0,5724;0,6676]f_{obs} \notin \left[0,5724;0,6676\right].
    On peut raisonnablement émettre des doutes quant aux affirmations de ce responsable.
    Question 8
    Selon une enquête menée en 20132013 par l’association «Prévention Routière», le coût moyen d’obtention du permis de conduire atteignait environ 15001500 euros.
    On décide de modéliser le coût d’obtention du permis de conduire par une variable aléatoire XX qui suit la loi normale d’espérance μ=1500\mu=1500 et d’écart-type σ=410\sigma=410.

    Déterminer une valeur approchée à 10−210^{-2} près de la probabilité que le coût du permis de conduire soit compris entre 10901090 euros et 19101910 euros.

    Correction
    Si XX suit une loi normale de paramètre μ\mu et σ\sigma alors :
    P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0,683P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)\approx0,683
    P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0,954P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx0,954
    P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0,997P\left(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma \right)\approx0,997
    On sait que XX est une variable qui suit la loi normale d’espérance μ=1500\mu=1500 et d’écart-type σ=410\sigma=410.
    On souhaite calculer : P(1090≤X≤1910)P\left(1090\le X\le 1910\right)
    On utilise la 1ère formule du rappel. Ainsi :
    P(1090≤X≤1910)=P(1500−410≤X≤1600+410)P\left(1090\le X\le 1910\right)=P\left(1500-410\le X\le 1600+410\right)
    P(1090≤X≤1910)≈0,68P\left(1090\le X\le 1910\right)\approx0,68

    Question 9

    Déterminer P(X≤1155)P\left(X\le 1155\right). On donnera le résultat sous forme approchée à 10−210^{-2} près.

    Correction
    Pour le calcul de P(X≤1155)P\left(X\le 1155\right)
    Avec une Texas , on tape pour P(X≤1155)P\left(X\le 1155\right) NormalFrep(valeur min ; valeur max ; espérance ; écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(−1099-10^{99}; 11551155 ; 15001500 ; 410410 ) puis taper sur enter et vous obtiendrez
    P(X≤1155)≈0,20P\left( X\le 1155\right)\approx 0,20

    Avec une casio graph 35 + , on tape pour P(X≤1155)P\left(X\le 1155\right)
    Normal C.D
    Lower : −1099-10^{99} Valeur Minimale
    Upper: 11551155 Valeur Maximale
    σ\sigma : 410410 Ecart type
    μ\mu : 15001500 Espérance

    puis taper sur EXE et vous obtiendrez
    P(X≤1155)≈0,20P\left( X\le 1155\right)\approx 0,20
    Question 10

    Estimer la valeur du nombre réel aa arrondi à l’unité, vérifiant P(X≥a)=0,2P\left(X\ge a\right)=0,2. Interpréter ce résultat dans le cadre de l’énoncé.

    Correction
    Pour le calcul de P(X≥a)=0,2P\left(X\ge a\right)=0,2 . On écrit tout d'abord que : P(X≥a)=1−P(X≤a)P\left(X\ge a\right)=1-P\left(X\le a\right)
    Ce qui nous donne : P(X≤a)=0,8P\left(X\le a\right)=0,8
    Avec une Texas, on tape pour P(X≤a)=0,8P\left(X\le a\right)=0,8 InvNorm(valeur donné,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici InvNorm( 0,80,8 ; 15001500 ; 410410 ) puis taper sur enter et vous obtiendrez
    a≈1845a\approx 1845

    Avec une Casio Graph 35 +, on tape pour P(X≤a)=0,8P\left(X\le a\right)=0,8
    Normal inverse
    Data : Variable
    Tail : Left car c'est ≤\le
    Area : 0,80,8
    σ\sigma : 410410 Ecart type
    μ\mu : 15001500 Espérance

    puis taper sur EXE et vous obtiendrez
    a≈1845a\approx 1845

    Cela veut donc dire que moins de 2020% des candidats auront payé plus de 18451845 euros pour obtenir leur permis.

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