Les lois continues

Exercice type : Loi uniforme - Exercice 3

8 min
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Question 1
Dans un restaurant, le temps d’attente pour être servi, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire XX qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [0;16]\left[0;16\right].

Quelle est le temps d'attente moyen ?

Correction

Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
Il en résulte que :
E(X)=0+162=8E\left(X\right)=\frac{0+16}{2} =8

Le temps d'attente pour être servi est de 88 minutes.
Question 2

Quelle est la probabilité d’être servi en moins de 66 minutes ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;16]\left[0;16\right] est f(x)=116−0=116f\left(x\right)=\frac{1}{16-0} =\frac{1}{16} .
De plus, ici on cherche à calculer P(X≤6)P\left( X\le 6\right) que l'on peut écrire P(0≤X≤6)P\left(0\le X\le 6\right)
Ainsi :
P(0≤X≤6)=6−016−0P\left(0\le X\le 6\right)=\frac{6-0}{16-0}
P(0≤X≤6)=616=38P\left(0\le X\le 6\right)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}
Question 3

Quelle est la probabilité d’être servi en plus de 1111 minutes ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;16]\left[0;16\right] est f(x)=116−0=116f\left(x\right)=\frac{1}{16-0} =\frac{1}{16} .
De plus, ici on cherche à calculer P(X≥11)P\left( X\ge 11\right) que l'on peut écrire P(11≤X≤16)P\left(11\le X\le 16\right)
Ainsi :
P(11≤X≤16)=16−1116−0P\left(11\le X\le 16\right)=\frac{16-11}{16-0}
P(11≤X≤16)=516P\left(11\le X\le 16\right)=\frac{5}{16}