Exercice type : Loi uniforme - Exercice 1

10 min
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Question 1
Roméo et Juliette se téléphonent régulièrement. La durée d’une communication suit la loi uniforme sur l’intervalle [0;60]\left[0;60\right]

Quelle est la probabilité que la communication n’excède pas 2020 minutes ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;60]\left[0;60\right] est f(x)=160−0=160f\left(x\right)=\frac{1}{60-0} =\frac{1}{60} .
De plus, ici on cherche à calculer P(X≤20)P\left( X\le 20\right) que l'on peut écrire P(0≤X≤20)P\left(0\le X\le 20\right)
Ainsi :
P(0≤X≤20)=20−060−0P\left(0\le X\le 20\right)=\frac{20-0}{60-0}
P(0≤X≤20)=13P\left(0\le X\le 20\right)=\frac{1}{3}

Question 2

Sachant qu’une communication dure depuis 3030 minutes, quelle est la probabilité qu’elle n’excède pas 4545 minutes ?

Correction
Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
Il s'agit d'une probabilité conditionnelle :
P(X≥30)(X≤45)=P((X≥30)∩(X≤45))P(X≥30)P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{P\left(\left(X\ge 30 \right)\cap \left(X\le 45 \right)\right)}{P\left(X\ge 30 \right)}
P(X≥30)(X≤45)=P(30≤X≤45)P(X≥30)P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{P\left(30 \le X\le 45 \right)}{P\left(X\ge 30 \right)}
P(X≥30)(X≤45)=P(30≤X≤45)P(30≤X≤60)P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{P\left(30 \le X\le 45 \right)}{P\left(30 \le X\le 60\right)}
La fonction de densité de probabilité de la loi uniforme sur [0;60]\left[0;60\right] est f(x)=160−0=160f\left(x\right)=\frac{1}{60-0} =\frac{1}{60}.
Ainsi :
P(X≥30)(X≤45)=(45−3060−0)(60−3060−0)P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{\left(\frac{45-30}{60-0} \right)}{\left(\frac{60-30}{60-0} \right)}
P(X≥30)(X≤45)=12P_{\left(X\ge 30 \right)} \left(X\le 45 \right)=\frac{1}{2}
Question 3

Calculer la durée moyenne d’une communication.

Correction

Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}
Il en résulte que :
E(X)=0+602=30E\left(X\right)=\frac{0+60}{2} =30

La durée moyenne d’une communication est de 3030 minutes.

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