Exercice 5 - Exercice 1

1 min

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à

10^{-3}

.
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.
La totalité de la production est réalisée par deux machines

M_{A}

M_{B}

.
La machine

M_{A}

fournit 40% de la production totale et

M_{B}

le reste.
La machine

M_{A}

produit 2% de médailles défectueuses et la machine

M_{B}

produit 3% de médailles défectueuses.

Question 1

Partie A
On prélève au hasard une médaille produite par l'entreprise et on considère les évènements suivants :

A

: « la médaille provient de la machine

M_{A}

»;

B

: « la médaille provient de la machine

M_{B}

»;

D

: « la médaille est défectueuse »;

\overline{D}

est l'évènement contraire de l'évènement

D

Traduire cette situation par un arbre pondéré.

Correction

D'après l'énoncé, on a :

Question 2

Montrer que la probabilité qu'une médaille soit défectueuse est égale à $0,026$ .

Correction

Les évènements

A

B

forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales, on a :

p\left(D\right)=p\left(A\cap D\right)+p\left(B\cap D\right)

p\left(D\right)=p\left(A\right)\times p_{A} \left(D\right)+p\left(B\right)\times p_{B} \left(D\right)

p\left(D\right)=0,4\times 0,2+0,6\times 0,03

p\left(D\right)=0,026

Question 3

Calculer la probabilité qu'une médaille soit produite par la machine $M_{A}$ sachant qu'elle est défectueuse.

Correction

p_{D} \left(A\right)=\frac{p\left(A\cap D\right)}{p\left(D\right)}

p_{D} \left(A\right)=\frac{0,4\times 0,02}{0,026}

p_{D} \left(A\right)\approx 0,308

Question 4

Les médailles produites sont libres par lots de

20

.
On prélève au hasard un lot de

20

médailles dans la production.
On suppose que la production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
Les tirages sont supposés indépendants.
On note

X

la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.

Préciser la loi que suit $X$ et donner ses paramètres.

Correction

A chaque question la probabilité de prendre une médaille défectueuse est de

0,026

.
On est donc en présence d'un schéma de Bernoulli :
On appelle succès « prendre une médaille défectueuse » avec la probabilité

p=0,026

On appelle échec « ne pas prendre une médaille défectueuse » avec la probabilité

1-p=0,974

On répète vingt fois de suite cette expérience de façon indépendante.

X

est la variable aléatoire qui associe le nombre de médailles défectueuses.

X

suit la loi binomiale de paramètre

n=20

p=0,026

.
On note alors

X \sim B\left(20;0,026\right)

Question 5

Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot.

Correction

Il faut calculer :

p\left(X\le 1\right)=p\left(X=0\right)+p\left(X=1\right)

A la calculatrice, on obtient :

p\left(X\le 1\right)\approx 0,906

Question 6

Partie B
Le diamètre exprimé en millimètre, d'une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu'il appartient à l'intervalle

\left[74,4;75,6\right]

.
On note

Y

la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre.
On suppose que la variable aléatoire

Y

suit une loi normale de moyenne

\mu

et d'écart-type

0,25

.
La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de

Y

Indiquer par lecture graphique la valeur de $\mu$ .

Correction

Nous pouvons lire :

\mu =75

.
En effet, cette courbe admet pour axe de symétrie la droite d'équation

x=\mu =75

Question 7

Déterminer à l'aide de la calculatrice la probabilité $P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)$ .

Correction

D'après la calculatrice, on a :
Pour le calcul de

P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)

Avec une Texas, on tape pour

P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)

NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(

74.4

75.6

75

0.25

) puis taper sur enter et vous obtiendrez :

P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)\approx 0,984

Avec une Casio Graph 35+, on tape pour

P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)

Normal C.D
Lower :

74,4

Valeur Minimale
Upper :

75,6

Valeur Maximale

\sigma

0,25

Ecart type

\mu

75

Espérance

puis taper sur EXE et vous obtiendrez :

P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)\approx 0,984

Question 8

En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de $h$ pour que $P\left(75-h\le Y\le 75+h\right)\approx 0,95$ .

Correction

Le résultat de cours est :

p\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx 0,95

.
Ici

h=2\sigma =0,50

Question 9

Partie C
Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la machine

M_{B}

, on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est de 3%.
Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine

M_{B}

, on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.

Calculer, dans l'échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme.

Correction

La fréquence de médaille défectueuse est de :

f_{obs} =\frac{11}{180} \approx 0,061

Question 10

Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine $M_{B}$ .

Correction

Ici

n=180

p=0,03

n\ge 30

;

np=180\times 0,03=5,4\ge 5

n(1-p)=180\times 0,97=174,6\ge 5

.
Les conditions d'approximation sont réalisées donc on peut prendre comme intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de

95\%

:
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de

95\%

vaut :

\begin{array}{l} {I=\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \right]} \end{array}

\begin{array}{l} {I\approx \left[0,005;0,055\right]} \end{array}

Or :

f_{obs} \notin I

, le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine

M_{B}

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Exercice 5 - Exercice 1

Traduire cette situation par un arbre pondéré.

Montrer que la probabilité qu'une médaille soit défectueuse est égale à 0,0260,0260,026.

Calculer la probabilité qu'une médaille soit produite par la machine MAM_{A} MA​ sachant qu'elle est défectueuse.

Préciser la loi que suit XXX et donner ses paramètres.

Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot.

Indiquer par lecture graphique la valeur de μ\mu μ.

Déterminer à l'aide de la calculatrice la probabilité P(74,4≤Y≤75,6)P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)P(74,4≤Y≤75,6).

En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de hhh pour que P(75−h≤Y≤75+h)≈0,95P\left(75-h\le Y\le 75+h\right)\approx 0,95P(75−h≤Y≤75+h)≈0,95.

Calculer, dans l'échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme.

Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine MBM_{B} MB​ .

Montrer que la probabilité qu'une médaille soit défectueuse est égale à $0,026$ .

Calculer la probabilité qu'une médaille soit produite par la machine $M_{A}$ sachant qu'elle est défectueuse.

Préciser la loi que suit $X$ et donner ses paramètres.

Indiquer par lecture graphique la valeur de $\mu$ .

Déterminer à l'aide de la calculatrice la probabilité $P\left(74,4\le Y\le 75,6\right)$ .

En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de $h$ pour que $P\left(75-h\le Y\le 75+h\right)\approx 0,95$ .

Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine $M_{B}$ .