Exercice 4 - Exercice 1

D'après l'énoncé, on en déduit l'arbre suivant.

$$p\left(N\cap Q\right)=p\left(N\right)\times p_{N} \left(Q\right)$$
$$p\left(N\cap Q\right)=0,4\times 0,92$$

En prenant un pneu au hasard dans le stock, la probabilité de choisir un pneu neige qui a réussi les tests de qualité est de $$0,368$$.

Les évènements $$N$$ et $$C$$ forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales on a :
$$p\left(Q\right)=p\left(N\cap Q\right)+p\left(C\cap Q\right)$$
$$p\left(Q\right)=p(N\cap Q)+p\left(C\right)\times p_{C} \left(Q\right)$$
$$p\left(Q\right)=0,368+0,6\times 0,96$$

On cherche $$p_{Q} \left(N\right)$$.
Or, $$p_{Q} \left(N\right)=\frac{p\left(N\cap Q\right)}{p\left(Q\right)}$$
$$p_{Q} \left(N\right)=\frac{0,368}{0,944}$$

Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, la probabilité que ce pneu soit un pneu neige est environ de $$0,390$$.

On souhaite calculer $$p(X\le 25)$$.
Première méthode :
On sait que $$p(X\le 25)=p(X\le 30)-p\left(25\le X\le 30\right)=0,5-p(25\le X\le 30)$$.
En déterminant $$p(25\le X\le 30)$$ avec la calculatrice, cela donne :
$$p(X\le 25)\approx 0,266$$
Deuxième méthode :
Il faut calculer ici $$p(X\le 25)$$
Pour le calcul de $$p(X\le 25)$$
Avec une Texas, on tape pour $$p(X\le 25)$$ NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep($$-10^{99}$$ , $$25$$ , $$30$$ , $$8$$ ) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
Avec une Casio Graph 35+, on tape pour $$P\left(X>5\right)$$ :

Puis taper sur EXE et vous obtiendrez

On cherche le réel $$d$$ vérifiant $$p(X>d)=0,2$$.
Or, $$p(X>d)=1-p\left(X\le d\right)$$, donc $$p(X>d)=0,2$$, équivaut à $$p(X\le d)=0,8$$.
Pour le calcul de $$p(X\le d)=0,8$$ :
Avec une Texas, on tape pour $$p(X\le d)=0,8$$ InvNorm(valeur donné , espérance , écart type ) c'est-à-dire ici InvNorm( $$0.8$$ , $$30$$ , $$8$$ ) puis taper sur enter et vous obtiendrez :
Pas besoin d'indiquer l'espérance et l'écart type car il s'agit de la loi normale centrée réduite $$N\left(0;1\right)$$
Avec une Casio Graph 35+, on tape pour $$P\left(X\le a\right)=0,88$$

Puis taper sur EXE et vous obtiendrez

Posons $$n=900$$ et $$p=0,85$$.
Alors $$n\ge 30$$, $$np=900\times 0,85=765\ge 5$$ et $$n(1-p)=900\times 0,15=135\ge 5$$.
Les conditions sont respectées, on peut donc déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique.
Supposons que le taux de satisfaction reste le même que celui de l'année précédente.
En choisissant un échantillon aléatoire de 900 personnes parmi les clients, on a donc une probabilité de 95% d'avoir une fréquence, sur l'échantillon, de clients satisfaits appartenant à l'intervalle $$\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \right]$$
Or, $$p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \approx 0,826$$ (arrondi par défaut) et $$p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)} }{\sqrt{n} } \approx 0,874$$ (arrondi par excès).
Sous l'hypothèse d'un taux de satisfaction maintenu, on obtient comme intervalle de fluctuation asymptotique pour la fréquence ce clients satisfaits sur un échantillon de 900 personnes l'intervalle $$\left[0,826;0,874\right]$$.
Sur l'échantillon, la fréquence observée de clients satisfaits est $$f_{obs} =\frac{735}{900} \approx 0,817$$.
$$f_{obs} \notin \left[0,826;0,874\right].$$
On rejette donc, au seuil de $$95\%$$, l'hypothèse d'un taux de satisfaction maintenu.