Exercice 2 - Les lois continues - TES

Question 1

Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $\left[-1;6\right]$ .
Alors l'espérance mathématique de $X$ est égale à
$\frac{5}{2}$
$7$
$5$

Correction

La proposition correcte est a.

Si

X

suit la loi uniforme sur un intervalle

\left[a,b\right]

alors son espérance mathématique vaut

E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}

Il en résulte que

E\left(X\right)=\frac{-1+6}{2} =\frac{5}{2}

Question 2

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale $N\left(25;9\right)$ .
On peut alors affirmer que :
$P\left(22\le X\le 28\right)=0,954$
$P\left(16\le X\le 24\right)=0,954$
$P\left(19\le X\le 31\right)=0,954$

Correction

La proposition correcte est c.

Si

X

suit une loi normale de paramètre

\mu

et

\sigma

alors :

$P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)=0,683$
$P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)=0,954$
$P\left(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma \right)=0,997$

Ici

X

suit une loi normale

N\left(25;9\right)

.
Cela signifie que la moyenne

\mu

vaut

25

et que l'écart type

\sigma

vaut

3

.
En effet, on écrit

N\left(\mu ;\sigma ^{2} \right)

.
Or

P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)=0,954

ce qui donne ici :

P\left(25-2\times 3\le X\le 25+2\times 3\right)=0,954

P\left(19\le X\le 31\right)=0,954

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0;3\right]$ par $f\left(x\right)=2x+1$ et $X$ la variable aléatoire qui suit la loi de densité $f$ sur $\left[0;3\right]$ .
Alors $E\left(X\right)$ est égale à :
$7$
$\frac{45}{2}$
$12$

Correction

La proposition correcte est b.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue

X

, de densité

f

sur

\left[a,b\right]

est

E\left(X\right)=\int _{a}^{b}xf\left(x\right)dx

Ainsi

E\left(X\right)=\int _{0}^{3}xf\left(x\right)dx

équivaut successivement à

E\left(X\right)=\int _{0}^{3}x\times \left(2x+1\right)dx

Donc

E\left(X\right)=\int _{0}^{3}\left(2x^{2} +x\right) dx

.
Finalement :

E\left(X\right)=\int _{0}^{3}\left(2x^{2} +x\right) dx

équivaut successivement à
Soit

g\left(x\right)=2x^{2} +x

, on note une primitive de

g

la fonction

G\left(x\right)=\frac{2}{3} x^{3} +\frac{1}{2} x^{2}

.

E\left(X\right)=G\left(3\right)-G\left(0\right)

E\left(X\right)=\left(\frac{2}{3} \times 3^{3} +\frac{1}{2} \times 3^{2} \right)-\left(\frac{2}{3} \times 0^{3} +\frac{1}{2} \times 0^{2} \right)

E\left(X\right)=\frac{45}{2}

Question 4

$X$ suit une loi normale de moyenne $4$ alors $P\left(X\ge 4\right)$ est égale à :
$0$
$0,5$
$1$

Correction

La proposition correcte est b.
C'est une formule du cours.

Question 5

Une entreprise fabrique des dosettes de café.
La masse d'une dosette, exprimée en grammes, est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de paramètres $m=5$ et $\sigma =0,25$ .
Une dosette est commercialisable si elle pèse au moins $4,5$ grammes.
La probabilité qu'une dosette de café soit commercialisable est environ égale à :
$0,84$
$0,95$
$0,997$

Correction

La proposition correcte est c.
Il faut calculer ici

P\left(X\ge 4,5\right)

Pour le calcul de

P\left(X\ge 4,5\right)

Avec une Texas , on tape pour

P\left(X\ge 4,5\right)

NormalFrep(valeur min,valeur max ,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici NormalFrep(

4,5

,

10^{99}

,

5

,

0.25

) puis taper sur enter et vous obtiendrez

P\left(X\ge 4,5\right)\approx 0,977

Avec une Casio Graph 35+, on tape pour

P\left(X>5\right)

Normal C.D
Lower:

4,5

Valeur Minimale
Upper:

10^{99}

Valeur Maximale

\sigma

:

0,25

Ecart type

\mu

:

5

Espérance

puis taper sur EXE et vous obtiendrez

P\left(X\ge 4,5\right)\approx 0,977

Question 6

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres $m=2500$ et $\sigma =650$ .
Soit $a$ un réel tel que $P\left(X\le a\right)=0,8$ .
La valeur de $a$ est :
$3047$
$3407$
$3704$

Correction

La proposition correcte est a.
Pour le calcul de

P\left(X\le a\right)=0,8

Avec une Texas , on tape pour

P\left(X\le a\right)=0,8

InvNorm(valeur donné,espérance , écart type ) c'est-à-dire ici InvNorm(

0.8

,

2500

,

650

) puis taper sur enter et vous obtiendrez

a\approx 3047

Avec une Casio Graph 35+, on tape pour

P\left(X\le a\right)=0,8

Normal inverse
Data : Variable
Tail : Left car c'est

\le

Area :

0,8

\sigma

:

650

Ecart type

\mu

:

2500

Espérance

puis taper sur EXE et vous obtiendrez

a\approx 3047

Question 7

Sur quel intervalle $I$ la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=e^{-\frac{x}{2} }$ définit-elle une densité de probabilité ?
$I=\left[0;\ln 2\right]$
$I=\left[0;2\ln 2\right]$
$I=\left[0;3\ln 2\right]$

Correction

La proposition correcte est b.

Notons

X

la variable aléatoire définie sur

\left[a;b\right]

dont la loi de probabilité a pour densité

f

alors

f

vérifie les conditions suivantes

$f$ est continue sur $\left[a;b\right]$
$f$ est positive sur $\left[a;b\right]$
$\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx =1$

Un primitive de

e^{ax+b}

est de la forme

\frac{1}{a} e^{ax+b}

On a

f\left(x\right)=e^{-\frac{x}{2} }

qui s'écrit également

f\left(x\right)=e^{-\frac{1}{2} x}

.
Il en résulte qu'une primitive de

f\left(x\right)=e^{-\frac{1}{2} x}

est

F\left(x\right)=\frac{1}{\left(-\frac{1}{2} \right)} e^{-\frac{1}{2} x}

.
Ainsi

F\left(x\right)=-2e^{-\frac{1}{2} x}

.
Calculons

\int _{0}^{2\ln 2}f\left(x\right)dx =\int _{0}^{2\ln 2}e^{-\frac{x}{2} } dx

.
On sait qu'une primitive de

f\left(x\right)=e^{-\frac{1}{2} x}

est

F\left(x\right)=-2e^{-\frac{1}{2} x}

.
Il vient alors que

D'une part

F\left(2\ln 2\right)=-2e^{-\frac{1}{2} \times 2\ln 2}

F\left(2\ln 2\right)=-2e^{-\ln 2}

F\left(2\ln 2\right)=-2\times \frac{1}{e^{\ln 2} }

F\left(2\ln 2\right)=-2\times \frac{1}{2}

F\left(2\ln 2\right)=-1

D'autre part

F\left(0\right)=-2e^{-\frac{1}{2} \times 0}

F\left(0\right)=-2e^{0}

F\left(0\right)=-2

Ainsi,

\int _{0}^{2\ln 2}f\left(x\right)dx =F\left(2\right)-F\left(0\right)

\int _{0}^{2\ln 2}f\left(x\right)dx =-1-\left(-2\right)

\int _{0}^{2\ln 2}f\left(x\right)dx =-1+2

\int _{0}^{2\ln 2}f\left(x\right)dx =1

De plus,

f\left(x\right)=e^{-\frac{x}{2} }

est positive et continue sur

\left[0;2\ln 2\right]

.
Donc

f

définie par

f\left(x\right)=e^{-\frac{x}{2} }

définit une densité de probabilité sur l'intervalle

\left[0;2\ln 2\right]

Question 8

Chaque matin, Adam lit son journal. Le temps de lecture exprimé en minutes suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[2;40\right]$ .
Sachant qu'Adam a déjà lu une demi-heure, quelle est la probabilité qu'il lise encore au moins $5$ minutes ?
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{7}$

Correction

La proposition correcte est a.

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle

\left[a;b\right]

alors :

P\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}

Il s'agit d'une probabilité conditionnelle.
L'énoncé de l'exercice se traduit par

P_{X\ge 30} \left(X\ge 35\right)=\frac{P\left(X\ge 30\cap X\ge 35\right)}{P\left(X\ge 30\right)}

P_{X\ge 30} \left(X\ge 35\right)=\frac{P\left(X\ge 35\right)}{P\left(X\ge 30\right)}

car

X\ge 30\cap X\ge 35

s'écrit

X\ge 5

P_{X\ge 30} \left(X\ge 35\right)=\frac{P\left(35\le X\le 40\right)}{P\left(30\le X\le 40\right)}

P_{X\ge 30} \left(X\ge 35\right)=\frac{\left(\frac{40-35}{40-2} \right)}{\left(\frac{40-30}{40-2} \right)}

P_{X\ge 30} \left(X\ge 35\right)=\frac{\left(\frac{5}{38} \right)}{\left(\frac{10}{38} \right)}

P_{X\ge 30} \left(X\ge 35\right)=\frac{5}{38} \times \frac{38}{10}

P_{X\ge 30} \left(X\ge 35\right)=\frac{5}{10}

P_{X\ge 30} \left(X\ge 35\right)=\frac{1}{2}

Question 9

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $1$ et d’écart-type $\sigma$ .
Si $P\left(-6\le X\le 8\right)\approx0,95$ alors, parmi les réponses suivantes, la meilleure valeur approchée de $\sigma$ est :
$3,5$
$7$
$1$

Correction

La proposition correcte est a.

Si

X

suit une loi normale de paramètre

\mu

et

\sigma

alors :

P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)\approx0,68

P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx0,95

P\left(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma \right)\approx0,99

D'après le rappel, nous savons que :

P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)\approx0,95

Ce qui signifie ici que :

P\left(1 -2\sigma \le X\le 1 +2\sigma \right)\approx0,95

ou encore

P\left(-6\le X\le 8\right)\approx0,95

Ce qui nous donne par identification deux équations :

1 -2\sigma=-6

et

1 +2\sigma=8

Nous les résolvons et nous trouvons

\sigma=3,5

Question 10

Une variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur un intervalle de la forme $\left[2; x\right]$ ,où $x$ est un réel strictement supérieur à $2$ . Sachant que $P\left(2\le T\le 3\right)=\frac{1}{4}$ . La valeur de $x$ est :
$2,25$
$6$
$8$

Correction

La bonne réponse est b.

Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle

\left[a;b\right]

alors :

P\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}

.

P\left(2\le T\le 3\right)=\frac{1}{4}

équivaut successivement à :

\frac{3-2}{x-2} =\frac{1}{4}

\frac{1}{x-2} =\frac{1}{4}

\left(x-2\right)\times 1=1\times 4

x-2=4

x=4+2

x=6

Exercice 2 - Exercice 1

Une variable aléatoire XXX suit une loi uniforme sur [−1;6]\left[-1;6\right][−1;6]. Alors l'espérance mathématique de XXX est égale à 52\frac{5}{2} 25​ 777 555

Soit fff la fonction définie sur [0;3]\left[0;3\right][0;3] par f(x)=2x+1f\left(x\right)=2x+1f(x)=2x+1 et XXX la variable aléatoire qui suit la loi de densité fff sur [0;3]\left[0;3\right][0;3]. Alors E(X)E\left(X\right)E(X) est égale à : 777 452\frac{45}{2} 245​ 121212

XXX suit une loi normale de moyenne 444 alors P(X≥4)P\left(X\ge 4\right)P(X≥4) est égale à : 000 0,50,50,5 111

Soit XXX une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres m=2500m=2500m=2500 et σ=650\sigma =650σ=650. Soit aaa un réel tel que P(X≤a)=0,8P\left(X\le a\right)=0,8P(X≤a)=0,8. La valeur de aaa est : 304730473047 340734073407 370437043704

Sur quel intervalle III la fonction fff définie par f(x)=e−x2f\left(x\right)=e^{-\frac{x}{2} } f(x)=e−2x​ définit-elle une densité de probabilité ? I=[0;ln⁡2]I=\left[0;\ln 2\right]I=[0;ln2] I=[0;2ln⁡2]I=\left[0;2\ln 2\right]I=[0;2ln2] I=[0;3ln⁡2]I=\left[0;3\ln 2\right]I=[0;3ln2]

Une variable aléatoire TTT suit la loi uniforme sur un intervalle de la forme [2;x]\left[2; x\right][2;x],où xxx est un réel strictement supérieur à 222. Sachant que P(2≤T≤3)=14P\left(2\le T\le 3\right)=\frac{1}{4}P(2≤T≤3)=41​. La valeur de xxx est : 2,252,25 2,25 666 888

Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $\left[-1;6\right]$ .
Alors l'espérance mathématique de $X$ est égale à
$\frac{5}{2}$
$7$
$5$

Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0;3\right]$ par $f\left(x\right)=2x+1$ et $X$ la variable aléatoire qui suit la loi de densité $f$ sur $\left[0;3\right]$ .
Alors $E\left(X\right)$ est égale à :
$7$
$\frac{45}{2}$
$12$

$X$ suit une loi normale de moyenne $4$ alors $P\left(X\ge 4\right)$ est égale à :
$0$
$0,5$
$1$

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres $m=2500$ et $\sigma =650$ .
Soit $a$ un réel tel que $P\left(X\le a\right)=0,8$ .
La valeur de $a$ est :
$3047$
$3407$
$3704$

Sur quel intervalle $I$ la fonction $f$ définie par $f\left(x\right)=e^{-\frac{x}{2} }$ définit-elle une densité de probabilité ?
$I=\left[0;\ln 2\right]$
$I=\left[0;2\ln 2\right]$
$I=\left[0;3\ln 2\right]$

Une variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur un intervalle de la forme $\left[2; x\right]$ ,où $x$ est un réel strictement supérieur à $2$ . Sachant que $P\left(2\le T\le 3\right)=\frac{1}{4}$ . La valeur de $x$ est :
$2,25$
$6$
$8$