Exercice 1 - Exercice 1

1 min
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Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.
Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte.
On demande bien sûr de justifier.
Question 1
Partie A

Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour.
En 20102010, en France, la proportion notée pp de fumeurs réguliers, âgés de 1515 à 1919 ans, était de 0,2360, 236.
On a p=0,236p = 0, 236.
La probabilité que, sur un groupe de 1010 jeunes âgés de 1515 à 1919 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à 10−310^{-3} près :
  • 0,1360,136
  • 00
  • 0,0680,068
  • 0,7640,764

Correction
La proposition correcte est c.
Chaque choix de jeune peut être considéré comme une épreuve de Bernoulli.
Le succès est l'évènement « le jeune est fumeur régulier ».
La probabilité de succès est 0,2360,236.
On répète 1010 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Si on note XX la variable aléatoire correspondant au nombre de succès, XX suit la loi binomiale de paramètres n=10n=10 et p=0,236p=0,236
P(X=0)≈0,068P(X=0) \approx 0,068
. Utilisez votre calculatrice :)
Question 2

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,950,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500500 jeunes âgés de 1515 à 1919 ans est :
(les bornes de chaque intervalle sont données à 10−310^{-3} près)
  • [0,198;0,274]\left[0,198;0,274\right]
  • [0,134;0,238]\left[0,134;0,238\right]
  • [0,191;0,281]\left[0,191;0,281\right]
  • [0,192;0,280]\left[0,192;0,280\right]

Correction
La proposition correcte est a.
La taille de l'échantillon nn est supérieur à 3030.
On a également :
np=500×0,236=118≥5np=500\times 0,236=118\ge 5 et n×(1−p)=500×0,764=382≥5.n\times (1-p)=500\times 0,764=382\ge 5.
[p−1,96×p×(1−p)n;p+1,96×p×(1−p)n]\left[p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times (1-p)} }{\sqrt{n} } ;p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times (1-p)} }{\sqrt{n} } \right]
p−1,96×p×(1−p)n=0,236−1,96×0,236×0,764500≈0,198.p-1,96\times \frac{\sqrt{p\times (1-p)} }{\sqrt{n} } =0,236-1,96\times \frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{500} } \approx 0,198.
Pour la borne inférieure, on donne une valeur approchée par défaut.
p+1,96×p×(1−p)n=0,236−1,96×0,236×0,764500≈0,274.p+1,96\times \frac{\sqrt{p\times (1-p)} }{\sqrt{n} } =0,236-1,96\times \frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{500} } \approx 0,274.
Pour la borne supérieure, on donne une valeur approchée par excès.
Question 3

La taille nn de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,950,95 soit inférieure à 0,010,01, vaut :
  • n=200n=200
  • n=400n=400
  • n=21167n=21167
  • n=27707n=27707

Correction
La proposition correcte est d.
2×1,96×0,236×0,764n≤0,012\times 1,96\times \frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{n} } \le 0,01 équivaut successivement à
0,236×0,764n≤0,0051,96\frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{n} } \le \frac{0,005}{1,96}
n≥1,960,236×0,7640,005\sqrt{n} \ge \frac{1,96\sqrt{0,236\times 0,764} }{0,005}
3,92×0,236×0,764n≤0,013,92\times \frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{n} } \le 0,01
0,236×0,764n≤0,013,92\frac{\sqrt{0,236\times 0,764} }{\sqrt{n} } \le \frac{0,01}{3,92}
Ensuite on inverse les deux quotients, le sens de l'inégalité changera.
Ainsi :
n0,236×0,764≥3,920,01\frac{\sqrt{n} }{\sqrt{0,236\times 0,764} } \ge \frac{3,92}{0,01}
n≥3,92×0,236×0,7640,01\sqrt{n} \ge \frac{3,92\times \sqrt{0,236\times 0,764} }{0,01}
n≥(3,92×0,236×0,7640,01)2n\ge \left(\frac{3,92\times \sqrt{0,236\times 0,764} }{0,01} \right)^{2}
n≥(3,92×0,236×0,7640,01)2≈27707n\ge \left(\frac{3,92\times \sqrt{0,236\times 0,764} }{0,01} \right)^{2} \approx 27707
Question 4

Dans un échantillon de 250250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 1515 à 1919 ans, 9999 sont des filles.
(les bornes de chaque intervalle sont données à 10−210^{-2} près)
  • [0,35;0,45]\left[0,35;0,45\right]
  • [0,33;0,46]\left[0,33;0,46\right]
  • [0,39;0,40]\left[0,39;0,40\right]
  • [0,30;0,50]\left[0,30;0,50\right]

Correction
La proposition correcte est b.
On a bien n≥30n\ge 30; nf≥5nf\ge 5 et n(1−f)≥5n\left(1-f\right)\ge 5.
L'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,950,95 est donné par la formule suivante.
[f−1n;f+1n]\left[f-\frac{1}{\sqrt{n} } ;f+\frac{1}{\sqrt{n} } \right]
f−1n=0,396−1250≈0,33.f-\frac{1}{\sqrt{n} } =0,396-\frac{1}{\sqrt{250} } \approx 0,33.
On arrondit la borne inférieure par défaut.
f+1n=0,396+1250≈0,46.f+\frac{1}{\sqrt{n} } =0,396+\frac{1}{\sqrt{250} } \approx 0,46.
On arrondit la borne supérieure par excès.
Question 5
Partie B
Cette partie est indépendante de la partie A.

Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.
Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent 400400 enfants à cette fête ; ils indiquent aussi que 32%32\% des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.

Le nombre d'enfants issus des villages voisins est :
  • 128128
  • 272272
  • 303303
  • 368368

Correction
La proposition correcte est b.
Il y a 32%32\% d’enfants de Boisjoli, donc 68%68\% d’enfants des villages voisins :
D'où :
68100×400=272\frac{68}{100} \times 400=272
Question 6
Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard afin de former une équipe qui participera à un défi sportif.
On admet que le nombre d'enfants est suffisamment grand pour que cette situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.

On appelle XX la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d'enfants de l'équipe habitant le village de Boisjoli.
La variable aléatoire XX suit la loi binomiale de paramètres :
  • n=400n=400 et p=0p=0
  • n=400n=400 et p=8p=8
  • n=8n=8 et p=0,32p=0,32
  • n=8n=8 et p=0,68p=0,68

Correction
La proposition correcte est c.

La probabilité qu’un enfant soit de Boisjoli est 0,320,32 puisqu’il y a 32%32\% d’enfants de ce village.
On choisit 88 enfants donc n=8n=8
Question 7

La probabilité que dans l'équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :
  • 0,1250,125
  • 0,8750,875
  • 0,9540,954
  • 11

Correction
La proposition correcte est c.
On cherche P(X≥1)P(X\ge 1) .
Or : P(X≥1)=1−P(X=0)P(X\ge 1)=1-P(X=0)
Avec la calculatrice on obtient :
P(X≥1)≈0,954P(X\ge 1)\approx 0,954
Question 8

L'espérance mathématique de XX est :
  • 1,74081,7408
  • 2,562,56
  • 87,0487,04
  • 128128

Correction
La proposition correcte est c.
XX est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p)B\left(n, p\right), alors l’espérance mathématique E(X)E\left(X\right), la variance V(X)V\left(X\right) et l’écart type σ(X)\sigma\left(X\right) sont égales à :
  • E(X)=n×pE\left(X\right)=n\times p
  • V(X)=n×p×(1−p)V\left(X\right)=n\times p\times \left(1-p\right)
  • σ(X)=V(X)=n×p×(1−p)\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} =\sqrt{n\times p\times \left(1-p\right)}
    • Donc :
    E(X)=8×0,32=2,56E(X)=8\times 0,32=2,56
    Question 9
    Partie C
    Cette partie est indépendante de la partie AA et de la partie BB.

    Dans un parc d'attraction, le temps d'attente XX pour profiter de l'attraction phare, exprimé en minutes, sur la loi uniforme sur l'intervalle [13;29]\left[13;29\right]
    Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre 1515 à 2020 minutes ?
    • 0,31250,3125
    • 0,32150,3215
    • 0,35210,3521
    • 0,31520,3152

    Correction
    La proposition correcte est a.
    Soit XX une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle[a;b]\left[a;b\right] alors : P(c≤X≤d)=d−cb−aP\left(c\le X\le d\right)=\frac{d-c}{b-a}
    P(15≤X≤20)=20−1529−13P\left(15\le X\le 20\right)=\frac{20-15}{29-13} équivaut successivement à :
    P(15≤X≤20)=516P\left(15\le X\le 20\right)=\frac{5}{16}
    P(15≤X≤20)=0,3125P\left(15\le X\le 20\right)=0,3125
    Question 10

    Préciser le temps d'attente moyen à la caisse :
    • 1919
    • 2121
    • 2323
    • 2525

    Correction
    La proposition correcte est b.
    Si XX suit la loi uniforme sur un intervalle [a,b]\left[a,b\right] alors son espérance mathématique vaut E(X)=a+b2E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}

    Il en résulte que :
    E(X)=13+292=21E\left(X\right)=\frac{13+29}{2} =21
    Question 11
    Cette question est indépendante.
    La fonction ff est la fonction densité de probabilité associée à la loi normale centrée réduite N(0;1)N\left(0;1 \right).
    La fonction gg est la fonction de densité de probabilité associée à la loi normale de moyenne μ=3\mu=3 et d’écart-type σ=2\sigma=2.

    La représentation graphique de ces deux fonctions est :

    Correction
    • La fonction ff est la fonction de Gauss définie par f(x)=12πe−x22f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } e^{-\frac{x^{2} }{2} }. Ainsi : f(x)=12π≈0,4f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } }\approx0,4 ce qui exclu automatiquement la courbe c.
    • La courbe représentative de gg doit être symétrique par rapport à la droite d’équation x=μ=3x=\mu=3; cela exclut la courbe a.
    • On sait également que : P(μ−σ≤X≤μ+σ)=P(1≤X≤5)≈0,68P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)=P\left(1\le X\le 5\right)\approx 0,68. Cela exclut la figure b, car l’aire correspondante entre x=1x=1 et x=5x=5 est visiblement supérieure à quatre carreaux, donc supérieure à 0,80,8.
    La bonne réponse est donc d.
    Question 12
    Cette question est indépendante.
    Soit XX une variable aléatoire réelle . On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne μ=600\mu=600 et d’écart-type σ=74,6\sigma = 74,6.

    La fonction densité associée à XX est représentée sur un seul de trois graphiques ci-dessous. Quel est ce graphique? Expliquer le choix.
    • aucun des graphiques ne correspond à la fonction de densité XX

    Correction
    La proposition correcte est a.
    Si XX suit une loi normale de paramètre μ\mu et σ\sigma alors :
  • P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0,683P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)=0,683
  • P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=0,954P\left(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma \right)=0,954
  • P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)=0,997P\left(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma \right)=0,997
    • L'aire hachurée correspond à une aire de 0,6830,683. Ce qui signifie qu'il faut utiliser P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0,683P\left(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma \right)=0,683. Avec les données de l'exercice, il vient alors que :
    P(600−74,6≤X≤600+74,6)=0,683P\left(600-74,6\le X\le 600+74,6\right)=0,683 ainsi P(525,4≤X≤674,6)=0,683P\left(525,4\le X\le 674,6\right)=0,683
    Il n'y a que le graphique de la réponse aa qui donne des valeurs de XX comprise entre 525,4525,4 et 674,6674,6.

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