Variations - Exercice 2

On reconnait la forme : $$\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w'$$ avec $$u\left(x\right)=3x$$ ; $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$w\left(x\right)=-9x$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=3$$ ; $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$w'\left(x\right)=-9$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=3\times \ln \left(x\right)+3x\times \frac{1}{x} -9$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+\frac{3x}{x}-9$$
$$f'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+3-9$$

Etudions le signe de $$3\ln \left(x\right)-6$$ :
$$3\ln \left(x\right)-6\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$3\ln \left(x\right)\ge 6$$
$$\ln \left(x\right)\ge \frac{6}{3}$$
$$\ln \left(x\right)\ge 2$$
$$\ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{2} \right)$$
$$x\ge e^{2}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$3\ln \left(x\right)-6$$ dès que $$x\ge e^{2}$$

$$f\left(1\right)=3\times1\ln \left(1\right)-9\times1$$ d'où

$$f\left(1\right)=-9$$

$$f\left(e^{2}\right)=3\times e^{2}\ln \left(e^{2}\right)-9\times e^{2}$$ d'où

$$f\left(e^{2}\right)=3\times e^{2}\times2-9\times e^{2}=-3\times e^{2}$$

$$f\left(20\right)=3\times20\ln \left(20\right)-9\times20$$ d'où

$$f\left(20\right)=60\ln \left(20\right)-180$$