Variations - Exercice 2

10 min
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Etudier les variations des fonctions suivantes.
Question 1

f(x)=3xln⁡(x)−9xf\left(x\right)=3x\ln \left(x\right)-9x sur I=[1;20]I=\left[1;20 \right]

Correction
On reconnait la forme : (uv+w)′=u′v+uv′+w′\left(uv+w\right)'=u'v+uv'+w' avec u(x)=3xu\left(x\right)=3x ; v(x)=ln⁡(x)v\left(x\right)=\ln \left(x\right) et w(x)=−9xw\left(x\right)=-9x.
Ainsi : u′(x)=3u'\left(x\right)=3 ; v′(x)=1xv'\left(x\right)=\frac{1}{x} et w′(x)=−9w'\left(x\right)=-9 .
Il vient alors que :
f′(x)=3×ln⁡(x)+3x×1x−9f'\left(x\right)=3\times \ln \left(x\right)+3x\times \frac{1}{x} -9 équivaut successivement à :
f′(x)=3ln⁡(x)+3xx−9f'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+\frac{3x}{x}-9
f′(x)=3ln⁡(x)+3−9f'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)+3-9
f′(x)=3ln⁡(x)−6f'\left(x\right)=3\ln \left(x\right)-6

Etudions le signe de 3ln⁡(x)−63\ln \left(x\right)-6 :
3ln⁡(x)−6≥03\ln \left(x\right)-6\ge 0 équivaut successivement à :
3ln⁡(x)≥63\ln \left(x\right)\ge 6
ln⁡(x)≥63\ln \left(x\right)\ge \frac{6}{3}
ln⁡(x)≥2\ln \left(x\right)\ge 2
ln⁡(x)≥ln⁡(e2)\ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{2} \right)
x≥e2x\ge e^{2}
Cela signifie que l'on mettra le signe ++ pour le signe de 3ln⁡(x)−63\ln \left(x\right)-6 dès que x≥e2x\ge e^{2}
  • f(1)=3×1ln⁡(1)−9×1f\left(1\right)=3\times1\ln \left(1\right)-9\times1 d'où
    f(1)=−9f\left(1\right)=-9
  • f(e2)=3×e2ln⁡(e2)−9×e2f\left(e^{2}\right)=3\times e^{2}\ln \left(e^{2}\right)-9\times e^{2} d'où
    f(e2)=3×e2×2−9×e2=−3×e2f\left(e^{2}\right)=3\times e^{2}\times2-9\times e^{2}=-3\times e^{2}
  • f(20)=3×20ln⁡(20)−9×20f\left(20\right)=3\times20\ln \left(20\right)-9\times20 d'où
    f(20)=60ln⁡(20)−180f\left(20\right)=60\ln \left(20\right)-180

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