Variations - Exercice 1

$$f'\left(x\right)=\frac{3}{x} +2$$ . Nous allons tout mettre au même dénominateur .
$$f'\left(x\right)=\frac{3}{x} +\frac{2x}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{3+2x}{x}$$
Comme on travaille sur l'intervalle $$I=\left]0;+\infty \right[$$ alors le dénominateur est strictement positif.
Il en résulte que le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$3+2x$$
Résolvons :
$$3+2x\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge -3 \Leftrightarrow x\ge\frac{-3}{2}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$3+2x$$ dès que $$x\ge \frac{-3}{2}$$
De plus, on ne fera pas apparaitre $$\frac{-3}{2}$$ car il n'appartient au domaine de définition .
Comme nous travaillons sur l'intervalle $$\left]0;+\infty \right[$$. Cela signifie donc que $$f'$$ est positive sur $$\left]0;+\infty \right[$$ .
On remplit alors le tableau de variation de $$f$$.
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f'\left(x\right)=-\frac{1}{x} +1$$ (ensuite toujours mettre au même dénominateur)
$$f'\left(x\right)=\frac{-1+x}{x}$$
Comme on travaille sur l'intervalle $$I=\left]0;+\infty \right[$$ alors le dénominateur est strictement positif.
Il en résulte que le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$-1+x$$
Résolvons :
$$-1+x\ge 0$$ ainsi : $$x\ge 1$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$-1+x$$ dès que $$x\ge 1$$
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f'\left(x\right)=\frac{3}{x} -6$$ (ensuite toujours mettre au même dénominateur)
$$f'\left(x\right)=\frac{3-6x}{x}$$
Comme on travaille sur l'intervalle $$I=\left]0;+\infty \right[$$ alors le dénominateur est strictement positif.
Il en résulte que le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$-1+x$$
Résolvons :
$$3-6x\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-6x\ge -3$$
ainsi $$x\le \frac{-3}{-6}$$ (ici on change le sens de l'inéquation car on a divisé par un nombre négatif)
d'où $$x\le \frac{1}{2}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe$$+$$ pour le signe de $$3-6x$$ dès que $$x\le \frac{1}{2}$$
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f'\left(x\right)=\frac{2}{x} -10$$ (ensuite toujours mettre au même dénominateur)
$$f'\left(x\right)=\frac{2}{x} -\frac{10x}{x}$$
Ainsi $$f'\left(x\right)=\frac{2-10x}{x}$$
Comme on travaille sur l'intervalle $$I=\left]0;+\infty \right[$$ alors le dénominateur est strictement positif.
Il en résulte que le signe de $$f'$$dépend du numérateur $$2-10x$$
Résolvons :
$$2-10x\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-10x\ge -2$$
Ainsi : $$x\le \frac{-2}{-10}$$ (ici on change le sens de l'inéquation car on a divisé par un nombre négatif)
d'où : $$x\le \frac{1}{5}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$2-10x$$ dès que $$x\le \frac{1}{5}$$
On en déduit le tableau de variation suivant :

$$f'\left(x\right)=\frac{4}{x} -4x$$ (ensuite toujours mettre au même dénominateur)
$$f'\left(x\right)=\frac{4}{x} -\frac{4x^{2} }{x}$$
Ainsi : $$f'\left(x\right)=\frac{4-4x^{2} }{x}$$
Comme on travaille sur l'intervalle $$I=\left]0;+\infty \right[$$ alors le dénominateur est strictement positif.
Il en résulte que le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$4-4x^{2}$$.
$$4-4x^{2}$$ est une équation du second degré, pour étudier son signe on va utiliser le discriminant .
On donnera directement les résultats : $$\Delta =64$$ ; $$x_{1} =-1$$ et $$x_{2} =1$$ .
Comme $$a=-4<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Pour nous aider on va donner pour le moment le signe de $$4-4x^{2}$$ sur $$\left]-\infty ;+\infty \right[$$ (vous ne devrez en aucun cas le faire sur votre copie c'est juste pour nous aider)

On n'oublie que nous devons étudier les variations de $$f$$ sur $$I=\left]0;+\infty \right[$$.
On en déduit maintenant le tableau de variation de $$f$$ sur $$I=\left]0;+\infty \right[$$ :

On reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=5x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=5$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=5\times \ln \left(x\right)+5x\times \frac{1}{x}$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=5\ln \left(x\right)+\frac{5x}{x}$$

Etudions le signe de $$5\ln \left(x\right)+5$$ :
$$5\ln \left(x\right)+5\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$5\ln \left(x\right)\ge -5$$
$$\ln \left(x\right)\ge -1$$
$$\ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{-1} \right)$$
$$x\ge e^{-1}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$5\ln \left(x\right)+5$$ dès que $$x\ge e^{-1}$$

On reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=-x$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=-1$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=-1\times \ln \left(x\right)-x\times \frac{1}{x}$$ équivaut successivement à :
$$f'\left(x\right)=-\ln \left(x\right)-\frac{x}{x}$$

Etudions le signe de $$-\ln \left(x\right)-1$$ :
$$-\ln \left(x\right)-1\ge 0$$ équivaut successivement à :
$$-\ln \left(x\right)\ge 1$$
$$\ln \left(x\right)\le -1$$ (on divise par un nombre négatif donc on doit changer le sens de l'inéquation)
$$\ln \left(x\right)\le \ln \left(e^{-1} \right)$$
$$x\le e^{-1}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$-\ln \left(x\right)-1$$ dès que $$x\le e^{-1}$$

On reconnaît la forme $$\left(\frac{u}{v} \right)^{'} =\frac{u'v-uv'}{v^{2} }$$ avec $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$ et $$v\left(x\right)=2x$$.
Ainsi $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=2$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{1}{x} \times \left(2x\right)-2\ln \left(x\right)}{\left(2x\right)^{2} }$$
$$f'\left(x\right)=\frac{\frac{2x}{x} -2\ln \left(x\right)}{\left(2x\right)^{2} }$$
Ainsi :
Comme $$x\in \left]0;+\infty \right[$$ alors $$\left(2x\right)^{2}>0$$ et donc le signe de $$f'$$ dépend de $$2-2\ln \left(x\right)$$
$$2-2\ln \left(x\right)\ge 0\Leftrightarrow -2\ln \left(x\right)\ge -2\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\le \frac{-2}{-2} \Leftrightarrow\ln \left(x\right)\le 1\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\le \ln \left(e^{1} \right)\Leftrightarrow x\le e^{1}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$2-2\ln \left(x\right)$$ dès que $$x\le e^{1}$$

Nous allons écrire $$f$$ de manière plus simple afin que l'on puisse dériver de manière classique.
$$f\left(x\right)=\left(\ln \left(x\right)+4\right)\times\left(\ln \left(x\right)+4\right)$$
On reconnait la forme : $$\left(uv\right)'=u'v+uv'$$ avec $$u\left(x\right)=\ln \left(x\right)+4$$ et $$v\left(x\right)=\ln \left(x\right)+4$$.
Ainsi : $$u'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$ et $$v'\left(x\right)=\frac{1}{x}$$.
Il vient alors que :
$$f'\left(x\right)=\frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)+4\right)+\frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)+4\right)$$
$$f'\left(x\right)=2\times \frac{1}{x} \times \left(\ln \left(x\right)+4\right)$$
Finalement :
Pour tout réel $$x\in \left]0;+\infty \right[$$ , on vérifie aisément que $$2>0$$ et $$x>0$$. Il en résulte donc que le signe de $$f'$$ dépend de $$\ln \left(x\right)+4$$.
$$\ln \left(x\right)+4\ge 0\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge -4\Leftrightarrow \ln \left(x\right)\ge \ln \left(e^{-4} \right)\Leftrightarrow x\ge e^{-4}$$
Cela signifie que l'on mettra le signe $$+$$ pour le signe de $$f'$$ dès que $$x\ge e^{-4}$$