Une équation pas des plus simples - Exercice 1

10 min
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Question 1
Soit xx un réel strictement positif.
On considère l’équation suivante : ln⁡(x2)−ln⁡(x5e)+ln⁡(2)=ln⁡(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\ln \left(\frac{x^{5} }{e} \right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5

Démontrer que x=1ex=\frac{1}{e} est l’unique solution de cette équation .

Correction
Soit xx un réel strictement positif.
ln⁡(x2)−ln⁡(x5e)+ln⁡(2)=ln⁡(2x)+5\ln \left(x^{2} \right)-\ln \left(\frac{x^{5} }{e} \right)+\ln \left(2\right)=\ln \left(2x\right)+5 . Nous commençons par mettre tous les logarithmes à gauche du signe égal.
ln⁡(x2)−ln⁡(x5e)+ln⁡(2)−ln⁡(2x)=5{\color{blue}\ln \left(x^{2} \right)-\ln \left(\frac{x^{5} }{e} \right)}+\ln \left(2\right)-\ln \left(2x\right)=5
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
ln⁡(x2(x5e))+ln⁡(2)−ln⁡(2x)=5{\color{blue}\ln \left(\frac{x^{2} }{\left(\frac{x^{5} }{e} \right)} \right)}+\ln \left(2\right)-\ln \left(2x\right)=5
ln⁡(x2×ex5)+ln⁡(2)−ln⁡(2x)=5\ln \left(x^{2} \times \frac{e}{x^{5} } \right)+\ln \left(2\right)-\ln \left(2x\right)=5
ln⁡(ex3)+ln⁡(2)−ln⁡(2x)=5\ln \left(\frac{e}{x^{3} } \right)+{\color{blue}\ln \left(2\right)-\ln \left(2x\right)}=5
  • ln⁡(a)−ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)
ln⁡(ex3)+ln⁡(22x)=5\ln \left(\frac{e}{x^{3} } \right)+{\color{blue}\ln \left(\frac{2}{2x} \right)}=5
ln⁡(ex3)+ln⁡(1x)=5\ln \left(\frac{e}{x^{3} } \right)+\ln \left(\frac{1}{x} \right)=5
  • ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b \right)
ln⁡(ex3×1x)=5\ln \left(\frac{e}{x^{3} } \times \frac{1}{x} \right)=5
ln⁡(ex4)=5\ln \left(\frac{e}{x^{4} } \right)=5
  • ln⁡ea=a\ln e^{a }=a
ln⁡(ex4)=ln⁡(e5)\ln \left(\frac{e}{x^{4} } \right)=\ln \left(e^{5} \right)
ln⁡(A)=ln⁡(B)⇔A=B\ln \left(A\right)=\ln \left(B\right)\Leftrightarrow A=B
ex4=e5\frac{e}{x^{4} } =e^{5}
ex4=e51\frac{e}{x^{4} } =\frac{e^{5} }{1}
ab=cd⇔ba=dc\frac{a}{b} =\frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{b}{a} =\frac{d}{c}
x4e=1e5\frac{x^{4} }{e} =\frac{1}{e^{5} }
x4=1e5×ex^{4} =\frac{1}{e^{5} } \times e
x4=ee5x^{4} =\frac{e}{e^{5} }
x4=ee4×ex^{4} =\frac{e}{e^{4} \times e} car e5=e4×ee^{5}=e^{4} \times e
x4=1e4x^{4} =\frac{1}{e^{4} }
x4=(1e)4x^{4} =\left(\frac{1}{e} \right)^{4}
X4=A4⇔X=AX^{4} =A^{4} \Leftrightarrow X=A quand XX est strictement positif .
x=1ex=\frac{1}{e}

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