Propriétés algébriques - La fonction logarithme - TES

Question 1

$A=\ln \left(2\right)+\ln \left(5\right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\ln \left(e^{a} \right)=a$

A=\ln \left(2\times 5\right)

équivaut successivement à :

A=\ln \left(10\right)

Question 2

$B=\ln \left(3\right)-\ln \left(4\right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\ln \left(e^{a} \right)=a$

B=\ln \left(\frac{3}{4} \right)

Question 3

$C=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\ln \left(e^{a} \right)=a$

C=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)

équivaut successivement à :

C=\ln \left(2^{3} \right)+\ln \left(3^{2} \right)-\ln \left(\sqrt{9} \right)

C=\ln \left(8\right)+\ln \left(9\right)-\ln \left(3\right)

C=\ln \left(8\times 9\right)-\ln \left(3\right)

C=\ln \left(72\right)-\ln \left(3\right)

C=\ln \left(\frac{72}{3} \right)

C=\ln \left(24\right)

Question 4

$D=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$e^{\ln a} =a$

D=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)

équivaut successivement à

D=\ln \left(\left(3-\sqrt{5} \right)\times\left(3+\sqrt{5} \right)\right)

.
Ensuite il faut utiliser l'identité remarquable :

\left(a-b\right)\times \left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}

D=\ln \left(3^{2} -\left(\sqrt{5} \right)^{2} \right)

D=\ln \left(9-5\right)

D=\ln \left(4\right)

Question 5

$E=\ln \left(4e^{5} \right)-\ln \left(\frac{4}{\sqrt{e} } \right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\ln \left(e^{a} \right)=a$

E=\ln \left(4e^{5} \right)-\ln \left(\frac{4}{\sqrt{e} } \right)

équivaut successivement à :

E=\ln \left(4\right)+\ln \left(e^{5} \right)-\left(\ln \left(4\right)-\ln \left(\sqrt{e} \right)\right)

E=\ln \left(4\right)+\ln \left(e^{5} \right)-\left(\ln \left(4\right)-\frac{1}{2} \ln \left(e\right)\right)

E=\ln \left(4\right)+5-\left(\ln \left(4\right)-\frac{1}{2} \right)

E=\ln \left(4\right)+5-\ln \left(4\right)+\frac{1}{2}

E=\frac{11}{2}

Question 6

$F=\frac{\ln \left(12\right)-\ln \left(24\right)}{2\ln \left(\sqrt{5} \right)}$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\ln \left(e^{a} \right)=a$

F=\frac{\ln \left(12\right)-\ln \left(24\right)}{2\ln \left(\sqrt{5} \right)}

équivaut successivement à :

F=\frac{\ln \left(\frac{12}{24} \right)}{2\ln \left(\sqrt{5} \right)}

F=\frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{2\ln \left(\sqrt{5} \right)}

F=\frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{2\times \frac{1}{2} \ln \left(5\right)}

F=\frac{\ln \left(\frac{1}{2} \right)}{\ln \left(5\right)}

Question 7

$G=\frac{\ln \left(e\right)}{\ln \left(e^{3} \right)} +\ln \left(\frac{1}{e} \right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\ln \left(e^{a} \right)=a$

G=\frac{\ln \left(e\right)}{\ln \left(e^{3} \right)} +\ln \left(\frac{1}{e} \right)

équivaut successivement à :

G=\frac{1}{3} -\ln \left(e\right)

G=\frac{1}{3} -1

G=-\frac{2}{3}

Question 8

$H=\ln \left(2e^{2} \right)-\ln \left(16\right)+\ln \left(e\right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\ln \left(e^{a} \right)=a$

H=\ln \left(2e^{2} \right)-\ln \left(16\right)+\ln \left(e\right)

équivaut successivement à :

H=\ln \left(2\right)+\ln \left(e^{2} \right)-\ln \left(2^{4} \right)+\ln \left(e\right)

H=\ln \left(2\right)+2-4\ln \left(2\right)+1

H=-3\ln \left(2\right)+3

Question 9

$I=\frac{1}{2} \ln(27)-2\ln(3)+\ln \left(\sqrt{3} \right)$

Correction

$\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)=\ln \left(a\times b\right)$
$\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b} \right)$
$\ln \left(\frac{1}{a} \right)=-\ln \left(a\right)$
$\ln \left(a^{n} \right)=n\ln \left(a\right)$
$\frac{1}{2} \ln \left(a\right)=\ln \left(\sqrt{a} \right)$
$e^{\ln a} =a$

I=\frac{1}{2} \ln(27)-2\ln(3)+\ln \left(\sqrt{3} \right)

équivaut successivement à :

I=\frac{1}{2} \ln(3^{3})-2\ln(3)+\frac{1}{2}\ln \left(3\right)

I=\frac{3}{2} \ln(3)-2\ln(3)+\frac{1}{2}\ln \left(3\right)

I=0

Propriétés algébriques - Exercice 1

A=ln⁡(2)+ln⁡(5)A=\ln \left(2\right)+\ln \left(5\right)A=ln(2)+ln(5)

B=ln⁡(3)−ln⁡(4)B=\ln \left(3\right)-\ln \left(4\right)B=ln(3)−ln(4)

C=3ln⁡(2)+2ln⁡(3)−12ln⁡(9)C=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)C=3ln(2)+2ln(3)−21​ln(9)

D=ln⁡(3−5)+ln⁡(3+5)D=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)D=ln(3−5​)+ln(3+5​)

E=ln⁡(4e5)−ln⁡(4e)E=\ln \left(4e^{5} \right)-\ln \left(\frac{4}{\sqrt{e} } \right)E=ln(4e5)−ln(e​4​)

F=ln⁡(12)−ln⁡(24)2ln⁡(5)F=\frac{\ln \left(12\right)-\ln \left(24\right)}{2\ln \left(\sqrt{5} \right)} F=2ln(5​)ln(12)−ln(24)​

G=ln⁡(e)ln⁡(e3)+ln⁡(1e)G=\frac{\ln \left(e\right)}{\ln \left(e^{3} \right)} +\ln \left(\frac{1}{e} \right)G=ln(e3)ln(e)​+ln(e1​)

H=ln⁡(2e2)−ln⁡(16)+ln⁡(e)H=\ln \left(2e^{2} \right)-\ln \left(16\right)+\ln \left(e\right)H=ln(2e2)−ln(16)+ln(e)

I=12ln⁡(27)−2ln⁡(3)+ln⁡(3)I=\frac{1}{2} \ln(27)-2\ln(3)+\ln \left(\sqrt{3} \right)I=21​ln(27)−2ln(3)+ln(3​)

$A=\ln \left(2\right)+\ln \left(5\right)$

$B=\ln \left(3\right)-\ln \left(4\right)$

$C=3\ln \left(2\right)+2\ln \left(3\right)-\frac{1}{2} \ln \left(9\right)$

$D=\ln \left(3-\sqrt{5} \right)+\ln \left(3+\sqrt{5} \right)$

$E=\ln \left(4e^{5} \right)-\ln \left(\frac{4}{\sqrt{e} } \right)$

$F=\frac{\ln \left(12\right)-\ln \left(24\right)}{2\ln \left(\sqrt{5} \right)}$

$G=\frac{\ln \left(e\right)}{\ln \left(e^{3} \right)} +\ln \left(\frac{1}{e} \right)$

$H=\ln \left(2e^{2} \right)-\ln \left(16\right)+\ln \left(e\right)$

$I=\frac{1}{2} \ln(27)-2\ln(3)+\ln \left(\sqrt{3} \right)$