Exercices types : applications à l'économie - Exercice 2

$$f$$ est dérivable sur $$\left[1; 10\right]$$. On a :
$$f'\left(x\right)=2x-2-\frac{24}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x\times x}{x} -\frac{2\times x}{x} -\frac{24}{x}$$
$$f'\left(x\right)=\frac{2x^{2} }{x} -\frac{2x}{x} -\frac{24}{x}$$

Nous savons que $$f'\left(x\right)=\frac{2x^{2} -2x-24}{x}$$ .
Comme on travaille sur l'intervalle $$\left[1; 10\right]$$ alors le dénominateur est strictement positif.
Il en résulte que le signe de $$f'$$ dépend du numérateur $$2x^{2} -2x-24$$.
$$2x^{2} -2x-24$$ est une équation du second degré, pour étudier son signe on va utiliser le discriminant .
On donnera directement les résultats : $$\Delta =196$$ ; $$x_{1} =-3$$ et $$x_{2} =4$$ .
Comme $$a=2>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
On en déduit le tableau de variation de $$f$$.

$$f\left(1\right)=1^{2}-2\times1+30-24\ln \left(1\right)$$ d'où :

$$f\left(1\right)=29$$

$$f\left(4\right)=4^{2}-2\times4+30-24\ln \left(4\right)$$ d'où :

$$f\left(4\right)=38-24\ln \left(4\right)$$

$$f\left(10\right)=10^{2}-2\times10+30-24\ln \left(10\right)$$ d'où :

$$f\left(10\right)=110-24\ln \left(10\right)$$

D'après la question précédente, le minimum est atteint pour $$x=4$$ et vaut $$38-24\ln \left(4\right)\approx4,73$$
Le coût de fabrication par objet est minimal pour $$400$$ objets. Il est alors d’environ $$4,73$$ euros par objet.